Правила дифференцирования

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Если функция $U=U(x)$ имеет в точке $x_0$ конечную производную $U'=U'(x)$ , то функция $y=C\cdot U\left(x\right)$ имеет конечную производную $y'=C\cdot U'\left(x\right)$ .

Доказательство.

Придадим точке $x_0$ приращение $\triangle x$ , тогда функции $y$ и $U$ получат в точке $x_0$ приращения $\triangle U$ и $\triangle y$ . Так как $y+\triangle y=C\left(U+\triangle U\right)=CU+C\triangle U$ , то $\triangle y=C\triangle U$ . Значит

$\frac{\triangle y}{\triangle x}=C\frac{\triangle U}{\triangle x}$ Поэтому

Ч.т.д.

Теорема 2

Если функции $U=U(x)$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$ , то функция $y=U\pm V$ имеет конечную производную $y'=U'\left(x\right)\pm V'(x)$ .

Доказательство.

Поэтому

Ч.т.д.

Теорема 3

Если функции $U=U(x)$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$ , то функция $y=U\cdot V$ имеет конечную производную $y'=U'V+V'U$ .

Доказательство.

то $\triangle y=U\triangle V+V\triangle U+\triangle U\triangle V$ . Значит

Так как функция $V'=V'(x)$ имеет в точке $x_0$ конечную производную, то при $\triangle x\to 0$ $\triangle V$ $\to 0$ . Следовательно

«Правила дифференцирования» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Ч.т.д.

Теорема 4

Если функции $U=U(x)$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$ , то функция $y=\frac{U}{V}$ имеет конечную производную $y'=\frac{U'V-V'U}{V^2}$ .

Доказательство.

Придадим точке $x_0$ приращение $\triangle x$ , тогда функции $y,\ V$ и $U$ получат в точке $x_0$ приращения $\triangle V,$ $\triangle U$ и $\triangle y$ . Так как $y+\triangle y=\frac{U+\triangle U}{V+\triangle V}$ то $\triangle y=\frac{U+\triangle U}{V+\triangle V}-\frac{U}{V}=\frac{UV+V\triangle U-UV-U\triangle V}{V^2+V\triangle V}=\frac{V\triangle U-U\triangle V}{V^2+V\triangle V}$ Значит $\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{V\frac{\triangle U}{\triangle x}-U\frac{\triangle V}{\triangle x}}{V^2+V\triangle V}$ Так как функция $V'=V'(x)$ имеет в точке $x_0$ конечную производную, то при $\triangle x\to 0$ $\triangle V$ $\to 0$ . Следовательно

Ч.т.д.

Теорема 5

Если функции $U=U\left(x\right)>0$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$ , то функция $y=U^V$ имеет конечную производную $y'=U^VlnU\cdot V'+VU^{V-1}\cdot U'$ .