Если функция $U=U(x)$ имеет в точке $x_0$ конечную производную $U'=U'(x)$, то функция $y=C\cdot U\left(x\right)$ имеет конечную производную $y'=C\cdot U'\left(x\right)$.
Доказательство.
Придадим точке $x_0$ приращение $\triangle x$, тогда функции $y$ и $U$ получат в точке $x_0$ приращения $\triangle U$ и $\triangle y$. Так как $y+\triangle y=C\left(U+\triangle U\right)=CU+C\triangle U$, то $\triangle y=C\triangle U$. Значит
$\frac{\triangle y}{\triangle x}=C\frac{\triangle U}{\triangle x}$Поэтому
Ч.т.д.
Если функции $U=U(x)$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$, то функция $y=U\pm V$ имеет конечную производную $y'=U'\left(x\right)\pm V'(x)$.
Доказательство.
Придадим точке $x_0$ приращение $\triangle x$, тогда функции $y,\ V$ и $U$ получат в точке $x_0$ приращения $\triangle V,$ $\triangle U$ и $\triangle y$. Так как $y+\triangle y=(U+\triangle U)\pm (V+\triangle V)$, то $\triangle y=\triangle U\pm \triangle V$. Значит
Поэтому
Ч.т.д.
Если функции $U=U(x)$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$, то функция $y=U\cdot V$ имеет конечную производную $y'=U'V+V'U$.
Доказательство.
Придадим точке $x_0$ приращение $\triangle x$, тогда функции $y,\ V$ и $U$ получат в точке $x_0$ приращения $\triangle V,$ $\triangle U$ и $\triangle y$. Так как $y+\triangle y=\left(U+\triangle U\right)\left(V+\triangle V\right)=UV+U\triangle V+V\triangle U+\triangle U\triangle V,$
то $\triangle y=U\triangle V+V\triangle U+\triangle U\triangle V$. Значит
Так как функция $V'=V'(x)$ имеет в точке $x_0$ конечную производную, то при $\triangle x\to 0$ $\triangle V$ $\to 0$. Следовательно
Ч.т.д.
Если функции $U=U(x)$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$, то функция $y=\frac{U}{V}$ имеет конечную производную $y'=\frac{U'V-V'U}{V^2}$.
Доказательство.
Придадим точке $x_0$ приращение $\triangle x$, тогда функции $y,\ V$ и $U$ получат в точке $x_0$ приращения $\triangle V,$ $\triangle U$ и $\triangle y$. Так как $y+\triangle y=\frac{U+\triangle U}{V+\triangle V}$ то $\triangle y=\frac{U+\triangle U}{V+\triangle V}-\frac{U}{V}=\frac{UV+V\triangle U-UV-U\triangle V}{V^2+V\triangle V}=\frac{V\triangle U-U\triangle V}{V^2+V\triangle V}$Значит$\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{V\frac{\triangle U}{\triangle x}-U\frac{\triangle V}{\triangle x}}{V^2+V\triangle V}$Так как функция $V'=V'(x)$ имеет в точке $x_0$ конечную производную, то при $\triangle x\to 0$ $\triangle V$ $\to 0$. Следовательно
Ч.т.д.
Если функции $U=U\left(x\right)>0$ и $V=V(x)$ имеют в точке $x_0$ конечные производные $U'=U'(x)$ и $V'=V'(x)$, то функция $y=U^V$ имеет конечную производную $y'=U^VlnU\cdot V'+VU^{V-1}\cdot U'$ .
Доказательство.
Прологарифмируем данную функцию, получим
Так как правая часть данного равенства имеет конечную производную, то и левая часть имеет конечную производную
Ч.т.д.
Задачи на нахождение производных
Найти производные
а) $f\left(x\right)=5x^3$
б) $f\left(x\right)=x^3+x^4$
в) $f\left(x\right)=xsinx$
г) $f\left(x\right)=x^{cosx}$
Решение:
а) Используем теорему 1:
\[f'\left(x\right)=\left(5x^3\right)'=5\left(x^3\right)'=5\cdot 3x^2=15x^2\]б) Используем теорему 2:
\[f'\left(x\right)={\left(x^3+x^4\right)}'={\left(x^3\right)}'+{\left(x^4\right)}'=3x^2+4x^3\]в) Используем теорему 3:
\[f'\left(x\right)={\left(xsinx\right)}'=x{\left(sinx\right)}'+{\left(x\right)}'sinx=xcosx+sinx\]г) Используем теорему 5:
\[f'\left(x\right)={-sinx\cdot x}^{cosx}\cdot lnx+cosx\cdot x^{cosx-1}\]
