Таблица основных формул дифференцирования

По формулам дифференцирования найти производную функции

Решение.

1. Вынесем числовой множитель за знак производной
\[y'=\left(\frac{3x^{8} }{24} \right){{'} } =\frac{3}{24} \left(x^{8} \right){{'} } \]
2. Найдем производную функции в степени по формуле:
\[\left(x^{n} \right){{'} } =n\cdot x^{n-1} \] \[y'=\frac{3}{24} \left(x^{8} \right){{'} } =\frac{3}{24} \cdot 8\cdot x^{8-1} =\frac{24}{24} \cdot x^{7} =x^{7} \]

По формулам дифференцирования найти производную функции в точке х=0.

Решение.

1. Вынесем числовой множитель за знак производной
\[y'=\left(\frac{4arcctgx}{6} \right){{'} } =\frac{4}{6} arcctgx'\]
2. Найдем производную тригонометрической функции по формуле:
\[\left(arcctgx\right){{'} } =\frac{1}{1+x^{2} } \] \[y'=\frac{4}{6} arcctgx'=\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } \]
3. Заменим х числом 0 (по условию)
\[y(0)'=\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } =\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{1+0} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3} \]

По формулам дифференцирования найти производную функции в точке х=1/12

Решение.

1. Вынесем числовой множитель за знак производной
\[y'=\left(-2e^{12x} \right){{'} } =-2\left(e^{12x} \right){{'} } \]
2. Найдем производную функции по формуле:
\[e^{x} {{'} } =e^{x} \] \[y'=-2\left(e^{12x} \right){{'} } =-2e^{12x} \]
3. Заменим х числом 1/12 (по условию)
\[y'=-2e^{12x} =-2e^{12\cdot \frac{1}{12} } =-2e\]

По формулам дифференцирования найти производную функции в точке х=$\pi $

Решение.

1. Найдем производную каждого члена функции
\[y'=\left(8\sin x-\cos x\right){{'} } =8\left(\sin x\right){{'} } -\left(\cos x\right){{'} } =\]
2. Найдем производные по формулам:
\[\sin x'=\cos x\] \[\cos x'=-\sin x\] \[y'=8\left(\sin x\right){{'} } -\left(\cos x\right){{'} } =8\cos x-(-\sin x)=8\cos x+\sin x\]
3. Заменим х значением $\pi $ (по условию)
\[y'=8\cos \pi +\sin \pi =8\cdot \left(-1\right)+0=-8\]

По формулам дифференцирования найти производную функции

Решение.

1. Представим корень в виде степени функции $х$
\[y`=\left(x^{-\frac{2}{3} } \right){{'} } \]
2. Вычислим производную степени функции по формуле:
\[\left(x^{n} \right){{'} } =n\cdot x^{n-1} \] \[y'=-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} -1} =-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} -\frac{3}{3} } =-\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3} } =-\frac{2}{3x\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]