Processing math: 100%

Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Производная и дифференциал
Производные различных порядков от неявных функций

Производные различных порядков от неявных функций

Источник статьи

Автор статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Пример 1

Найти вторую производную параметрической функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=\ln t} \\ {y=3t^{2} } \end{array}\right.$

Решение.

Найдем первую производную по формуле:

$y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} }$

$y'_{t} =\left(t^{3} \right)^{{'} } =6t x'_{t} =\left(\ln t\right)^{{'} } =\frac{1}{t}$

$y'_{x} =\frac{6t}{\frac{1}{t} } =6t^{2}$

Найдем вторую производную

$y''_{xx} =\left(6t^{2} \right)^{{'} } =12t$

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Определение

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

Продифференцировать обе части уравнения по х.
Поскольку у -- дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
В правой части уравнения должно получится значение 0.

Примечание

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

$\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } -1=0$

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

$\frac{2x}{a^{2} } +\frac{2ydy}{b^{2} dx} =0$

$\frac{dy}{dx} =-\frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

$\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} (y-x)\frac{dy}{dx} }{a^{2} y}$

Заменим производную dy/dx ее выражением:

$\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} (y+x)\frac{b^{2} }{a^{2} } \frac{x}{y} }{a^{2} y}$

$\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} \left(a^{2} y^{2} +b^{2} x^{2} \right)}{a^{4} y^{3} }$

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$ , вторую производную можно представить в виде

$\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =\frac{b^{4} }{a^{2} y^{3} }$

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $\frac{d^{3} y}{dx^{3} }$ и т. д.

«Производные различных порядков от неявных функций» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 2

Найти вторую производную неявно заданной функции

$2x^{3} -xy^{2} =4$

Решение.

Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем:

$\left(2x^{3} -xy^{2} -4\right)^{{'} } =0$

$\left(2x^{3} \right)^{{'} } -\left(xy^{2} \right)^{{'} } -\left(4\right)^{{'} } =0$

$6x^{2} -\left(x'y^{2} +x\left(y^{2} \right)^{{'} } \right)=0$

$6x^{2} -y^{2} -2xyy'=0$

Выразим y`

$y'=\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy}$

Повторно дифференцируем равенство

$\left(6x^{2} -y^{2} -2xyy'\right)^{{'} } =12x-2y-2\left(xy\right)^{{'} } y'-2xyy'$

$12x-2y-2\left(xy\right)^{{'} } y-2xyy'=12x-2y-2x'y'-2xy'-2xyy''$

$12x-2y-2x'y'-2xy'-2xyy''=12x-2y-2y'-2xy'-2xyy''$

Выполним замену y`

$12x-2y-2\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2x\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2xyy''=0$

Упростим

$\frac{12x^{2} y-2xy^{2} }{xy} -\frac{6x^{2} -y^{2} }{xy} -\frac{6x^{3} -y^{2} }{xy} -2xyy''=0$

$\frac{12x^{2} y-2xy^{2} -6x^{2} +2y^{2} -6x^{3} }{xy} -2xyy''=0$

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot