Как найти первую и вторую производные параметрической функции
Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:
Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.
Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:
Для нахождения второй производной:
Найти вторую производную параметрической функции
\[\left\{\begin{array}{l} {x=\ln t} \\ {y=3t^{2} } \end{array}\right. \]Решение.
- Найдем первую производную по формуле: \[y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } \] \[y'_{t} =\left(t^{3} \right)^{{'} } =6t x'_{t} =\left(\ln t\right)^{{'} } =\frac{1}{t} \] \[y'_{x} =\frac{6t}{\frac{1}{t} } =6t^{2} \]
- Найдем вторую производную \[y''_{xx} =\left(6t^{2} \right)^{{'} } =12t\]
Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.
Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:
- Продифференцировать обе части уравнения по х.
- Поскольку у -- дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
- В правой части уравнения должно получится значение 0.
Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0
- Решить полученное уравнение относительно y`(x)
Пусть неявная функция у от x определяется равенством:
\[\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } -1=0\]Дифференцируем по x все члены этого равенства:
\[\frac{2x}{a^{2} } +\frac{2ydy}{b^{2} dx} =0\] \[\frac{dy}{dx} =-\frac{b^{2} x}{a^{2} y} \]Последнее равенство снова дифференцируем по х:
\[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} (y-x)\frac{dy}{dx} }{a^{2} y} \]Заменим производную dy/dx ее выражением:
\[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} (y+x)\frac{b^{2} }{a^{2} } \frac{x}{y} }{a^{2} y} \] \[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} \left(a^{2} y^{2} +b^{2} x^{2} \right)}{a^{4} y^{3} } \]Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде
\[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =\frac{b^{4} }{a^{2} y^{3} } \]Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $\frac{d^{3} y}{dx^{3} } $ и т. д.
Найти вторую производную неявно заданной функции
\[2x^{3} -xy^{2} =4\]Решение.
- Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем: \[\left(2x^{3} -xy^{2} -4\right)^{{'} } =0\] \[\left(2x^{3} \right)^{{'} } -\left(xy^{2} \right)^{{'} } -\left(4\right)^{{'} } =0\] \[6x^{2} -\left(x'y^{2} +x\left(y^{2} \right)^{{'} } \right)=0\] \[6x^{2} -y^{2} -2xyy'=0\]
- Выразим y` \[y'=\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} \]
- Повторно дифференцируем равенство \[\left(6x^{2} -y^{2} -2xyy'\right)^{{'} } =12x-2y-2\left(xy\right)^{{'} } y'-2xyy'\] \[12x-2y-2\left(xy\right)^{{'} } y-2xyy'=12x-2y-2x'y'-2xy'-2xyy''\] \[12x-2y-2x'y'-2xy'-2xyy''=12x-2y-2y'-2xy'-2xyy''\]
- Выполним замену y` \[12x-2y-2\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2x\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2xyy''=0\]
- Упростим \[\frac{12x^{2} y-2xy^{2} }{xy} -\frac{6x^{2} -y^{2} }{xy} -\frac{6x^{3} -y^{2} }{xy} -2xyy''=0\] \[\frac{12x^{2} y-2xy^{2} -6x^{2} +2y^{2} -6x^{3} }{xy} -2xyy''=0\]
