К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.
Из определения производной следует следующий алгоритм вычислений:
- Составить приращение $\Delta $y, $\Delta $x функции \[\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
- Найти частное приращение функции и аргумента \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
- Найти предел отношения, при стремлении независимой переменной к 0 \[\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
Найти производную постоянной y = c
Решение. Составим приращение и найдем предел отношения
\[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{c-c}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} 0=0\]Ответ: Производная постоянной равна 0
Найти производную степенной функции y = xn (n -- целое положительное число).
Решение.
- Составим приращение и найдем предел отношения \[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^{n} -x^{n} }{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{x^{n} +n\Delta xx^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!} \Delta x^{2} x^{n-2} +...+\Delta x^{n} -x^{n} }{\Delta x} =\]
- Упростим дробь \[\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} nx^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!} \Delta xx^{n-2} +...+\Delta x^{n-1} =nx^{n-1} \]
Частный вывод: Если y = x, то y` = 1.
Ответ: Производная степенной функции равна $nx_n-1$.
Найти производную тригонометрической функции y = sinx
Решение.
- Составим приращение и найдем предел отношения \[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{2\cos (x+\frac{\Delta x}{2} )\sin x\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} =\]
- Упростим дробь \[=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \cos (x+\frac{\Delta x}{2} )\frac{\sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2} } =\cos x\]
Ответ: Производная sinx = cosx
Найти производную тригонометрической функции y = cosx
Решение.
- Составим приращение и найдем предел отношения \[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} -\frac{2\sin (x+\frac{\Delta x}{2} )\sin x\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} =\]
- Упростим дробь \[=-\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \sin (x+\frac{\Delta x}{2} )\frac{\sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2} } =-\sin x\]
Ответ: Производная cosx = - sinx
Найти производную логарифмической функции $y = logx (x > 0)$
Решение. Составим приращение и найдем предел отношения
\[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\log (x+\Delta x)-\log x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\log (1+\frac{\Delta x}{x} )}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{1}{x} \frac{\log (1+\frac{\Delta x}{x} )}{\frac{\Delta x}{x} } =\frac{1}{x} \]Ответ: Производная logx = 1/x
Найти производную функции y = cf(x), где с -- постоянная, f(x) -- функция.
Решение.
\[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{cf(x+\Delta x)-cf(x)}{\Delta x} =c\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =cf`(x)\]Вывод: производная от производной постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную от переменной функции. Т.е. постоянный множитель выносится за знак производной!
Найти производную логарифмической функции $y = log_a x$
Решение.
По свойству логарифма:
\[log_{a} x=logx\frac{1}{\log a} \]Значит, производная равна:
\[y`=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log a} \]Ответ: Производная $log_a x = 1/x * 1/log a$
Найти производную тригонометрической функции y = tgx
Решение.
\[y`=\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)`=\frac{\left(\sin x\right)`\cos x-\left(\cos x\right)`\sin x}{\cos ^{2} x} =\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} =\frac{1}{\cos ^{2} x} \]Ответ: Производная $tgx = 1/cos^2 x$
Найти производную тригонометрической функции y = ctgx
Решение.
\[y`=\left(\frac{\cos x}{\sin x} \right)`=\frac{\left(\cos x\right)`\sin x-\left(\sin x\right)`\cos x}{\sin ^{2} x} =\frac{-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} =-\frac{1}{\sin ^{2} x} \]Ответ: Производная $ctgx = -1/sin^2 x$
