Производные основных элементарных функций

Найти производную постоянной y = c

Решение. Составим приращение и найдем предел отношения

$$y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{c-c}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} 0=0$$

Ответ: Производная постоянной равна 0

Найти производную степенной функции y = xn (n -- целое положительное число).

Решение.

1. Составим приращение и найдем предел отношения
$$y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^{n} -x^{n} }{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{x^{n} +n\Delta xx^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!} \Delta x^{2} x^{n-2} +...+\Delta x^{n} -x^{n} }{\Delta x} =$$
2. Упростим дробь
$$\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} nx^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!} \Delta xx^{n-2} +...+\Delta x^{n-1} =nx^{n-1}$$

Частный вывод: Если y = x, то y` = 1.

Ответ: Производная степенной функции равна $nx_n-1$.

Найти производную тригонометрической функции y = sinx

Решение.

1. Составим приращение и найдем предел отношения
$$y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{2\cos (x+\frac{\Delta x}{2} )\sin x\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} =$$
2. Упростим дробь
$$=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \cos (x+\frac{\Delta x}{2} )\frac{\sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2} } =\cos x$$

Ответ: Производная sinx = cosx

Найти производную тригонометрической функции y = cosx

Решение.

1. Составим приращение и найдем предел отношения
$$y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} -\frac{2\sin (x+\frac{\Delta x}{2} )\sin x\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} =$$
2. Упростим дробь
$$=-\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \sin (x+\frac{\Delta x}{2} )\frac{\sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2} } =-\sin x$$

Ответ: Производная cosx = - sinx

Найти производную логарифмической функции $y = logx (x > 0)$

Решение. Составим приращение и найдем предел отношения

$$y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\log (x+\Delta x)-\log x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\log (1+\frac{\Delta x}{x} )}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{1}{x} \frac{\log (1+\frac{\Delta x}{x} )}{\frac{\Delta x}{x} } =\frac{1}{x}$$

Ответ: Производная logx = 1/x

Найти производную функции y = cf(x), где с -- постоянная, f(x) -- функция.

Решение.

$$y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{cf(x+\Delta x)-cf(x)}{\Delta x} =c\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =cf`(x)$$

Вывод: производная от производной постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную от переменной функции. Т.е. постоянный множитель выносится за знак производной!

Найти производную логарифмической функции $y = log_a x$

Решение.

По свойству логарифма:

$$log_{a} x=logx\frac{1}{\log a}$$

Значит, производная равна:

$$y`=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log a}$$

Ответ: Производная $log_a x = 1/x * 1/log a$

Найти производную тригонометрической функции y = tgx

Решение.

$$y`=\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)`=\frac{\left(\sin x\right)`\cos x-\left(\cos x\right)`\sin x}{\cos ^{2} x} =\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} =\frac{1}{\cos ^{2} x}$$

Ответ: Производная $tgx = 1/cos^2 x$

Найти производную тригонометрической функции y = ctgx

Решение.

$$y`=\left(\frac{\cos x}{\sin x} \right)`=\frac{\left(\cos x\right)`\sin x-\left(\sin x\right)`\cos x}{\sin ^{2} x} =\frac{-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} =-\frac{1}{\sin ^{2} x}$$

Ответ: Производная $ctgx = -1/sin^2 x$