Абсолютная погрешность
Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают Δu:
Δu=|u−u0|
Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность Δu неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.
Граница погрешности приближенной величины
Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:
|u−u0|=Δu≤¯ΔuЗначит, точное значение величины содержится между u0−¯Δu и u0+¯Δu
u0−¯Δu≤u≤u0+¯ΔuЕсли граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна ¯Δu, то говорят, что величина u найдена с точностью ¯Δu.
Относительная погрешность и ее граница
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности Δu к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.
Обозначая относительную погрешность символом δu, получим
δu=Δu|u0|Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:
¯δu=¯Δu|u0|Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
dy = f '(x) Δх
В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:
Δy≈dyПоскольку
Δy=f(x+Δx)−f(x) dy=f′(x)ΔxНаращенное значение функции имеет вид:
f(x+Δx)−f(x)≈f′(x)ΔxС помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке x+Δх, близкой к х по известному значению функции.
Для приближенных вычислений используется формула:
(1+Δx)n≈1+nΔxНапример:
- Приближенно вычислить (1,02)3
- Приближенно вычислить √1,005
Где Δх = 0,03, n = 5
(1,02)3≈1+0,02⋅3Где Δх = 0,03, n = 5
(1,02)3≈1,06Где Δх = 0,005, n =0,5
√1,005≈1+0,5⋅0,005 √1,005≈1,0025Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:
V=πHR2Запишем приращение функции:
dV=2πHR⋅ΔR ΔV≈2πHR⋅ΔRЗаменим известные величины
ΔV≈2π⋅40⋅30⋅0,5=1200π≈3770см3Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.
Решение.
Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:
δs=ΔssПриближенное значение получается в следствие замены Δs на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:
δs=dssПоскольку площадь круга с радиусом х равна:
s=14πx2 ds=12πxdxТаким образом,
δs=12πxdx14πx2=2dxxЗаменим х и dx числовыми значениями
δs=20,015,2≈0,004(что составляет погрешность 4%)