Абсолютная погрешность
Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают $\Delta $u:
$\Delta u = |u - u0| $
Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность $\Delta $u неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.
Граница погрешности приближенной величины
Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:
\[|u-u_{0} |=\Delta _{u} \le \overline{\Delta _{u} }\]Значит, точное значение величины содержится между $u_{0} -\overline{\Delta _{u} }$ и $u_{0} +\overline{\Delta _{u} }$
\[u_{0} -\overline{\Delta _{u} }\le u\le u_{0} +\overline{\Delta _{u} }\]Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна $\overline{\Delta _{u} }$, то говорят, что величина u найдена с точностью $\overline{\Delta _{u} }$.
Относительная погрешность и ее граница
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности $\Delta $u к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.
Обозначая относительную погрешность символом $\delta $u, получим
\[\delta _{u} =\frac{\Delta _{u} }{\left|u_{0} \right|} \]Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:
\[\overline{\delta _{u} }=\frac{\overline{\Delta _{u} }}{\left|u_{0} \right|} \]Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
dy = f '(x) $\Delta $х
В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:
\[\Delta y\approx dy\]Поскольку
\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \[dy=f'(x)\Delta x\]Наращенное значение функции имеет вид:
\[f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x\]С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке $x + \Delta х$, близкой к х по известному значению функции.
Для приближенных вычислений используется формула:
\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]Например:
- Приближенно вычислить $(1,02)^3$
- Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $
Где $\Delta $х = 0,03, n = 5
\[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]Где $\Delta $х = 0,03, n = 5
\[(1,02)^{3} \approx 1,06\]Где $\Delta $х = 0,005, n =0,5
\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:
\[V=\pi HR^{2} \]Запишем приращение функции:
\[dV=2\pi HR\cdot \Delta R\] \[\Delta V\approx 2\pi HR\cdot \Delta R\]Заменим известные величины
\[\Delta V\approx 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \approx 3770 см^{3} \]Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.
Решение.
Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:
\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:
\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]Поскольку площадь круга с радиусом х равна:
\[s=\frac{1}{4} \pi x^{2} \] \[ds=\frac{1}{2} \pi xdx\]Таким образом,
\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]Заменим х и dx числовыми значениями
\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\](что составляет погрешность 4%)
