Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Абсолютная погрешность

Определение

Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают Δu:

Δu=|uu0|

Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность Δu неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.

Граница погрешности приближенной величины

Определение

Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:

|uu0|=Δu¯Δu

Значит, точное значение величины содержится между u0¯Δu и u0+¯Δu

u0¯Δuuu0+¯Δu

Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна ¯Δu, то говорят, что величина u найдена с точностью ¯Δu.

Относительная погрешность и ее граница

Определение

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности Δu к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.

Обозначая относительную погрешность символом δu, получим

δu=Δu|u0|
Определение

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:

¯δu=¯Δu|u0|
«Применение дифференциала в приближенных вычислениях» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

δu и ¯δu часто выражают в процентах.

Дифференциал функции

Определение

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

dy = f '(x) Δх

В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

Δydy

Поскольку

Δy=f(x+Δx)f(x) dy=f(x)Δx

Наращенное значение функции имеет вид:

f(x+Δx)f(x)f(x)Δx

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке x+Δх, близкой к х по известному значению функции.

Для приближенных вычислений используется формула:

(1+Δx)n1+nΔx

Например:

  1. Приближенно вычислить (1,02)3
  2. Где Δх = 0,03, n = 5

    (1,02)31+0,023

    Где Δх = 0,03, n = 5

    (1,02)31,06
  3. Приближенно вычислить 1,005

Где Δх = 0,005, n =0,5

1,0051+0,50,005 1,0051,0025
Пример 1

Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.

Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:

V=πHR2

Запишем приращение функции:

dV=2πHRΔR ΔV2πHRΔR

Заменим известные величины

ΔV2π40300,5=1200π3770см3
Пример 2

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Решение.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

δs=Δss

Приближенное значение получается в следствие замены Δs на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

δs=dss

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

s=14πx2 ds=12πxdx

Таким образом,

δs=12πxdx14πx2=2dxx

Заменим х и dx числовыми значениями

δs=20,015,20,004

(что составляет погрешность 4%)

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Применение дифференциала в приближенных вычислениях"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant