Центральные понятия дифференциального исчисления -- производная и дифференциал -- возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.
Химическая реакция
Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества х, уже вступившее в реакцию к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени $\Delta $t будет соответствовать приращение $\Delta $x величины х, а средняя скорость химической реакции за промежуток $\Delta $t составит:
\[\frac{\Delta x}{\Delta t} \]Тогда предел средней скорости реакции при стремлении $\Delta $t к нулю выражает скорость химической реакции в данный момент времени t.
Таким образом, скорость растворения в данный момент времени:
\[v(t_{0} )=f`(t_{0} )\] \[v(0)=f`(0)\]Теплоемкость тела
Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = $\omega $, то это происходит за счет того, что телу сообщается определенное количество тепла $Q$; значит $Q$ -- функция от температуры $\omega $, до которой тело нагревается:
Q = Q($\omega $)
Пусть температура повысилась с $\omega $ до $\Delta $$\omega $, тогда количество тепла будет равно:
Q = Q($\omega $ + $\Delta $$\omega $) - Q($\omega $)
Отношение $\Delta $Q/$\Delta $$\omega $ -- количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 10. Данное отношение носит название средней теплоемкости -- предела отношения приращения количества тепла к приращению температуры.
Издержки производства
Пусть y -- издержки производства, а х -- количество продукции, тогда $\Delta $х -- прирост продукции, а $\Delta $y -- приращение издержек производства. В этом случае производная:
\[\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]Выражает предельные издержки производства и приближенно -- дополнительные затраты на единицу продукции:
\[MC=\frac{\Delta TC}{\Delta Q} \]Если отношение
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]Имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.
Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном значении х, называется предел отношений $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ приращения $\Delta $у функции к соответствующему приращению независимого переменного стремящегося к нулю.
\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]Производная функции - одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция - восстановление функции по известной производной -- интегрированием.
Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:
- Записать отношение \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
- Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta $x;
- Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.
Найти производную функции по алгоритму определения
\[y=\ln x\]Решение.
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln (x)}{\Delta x} =\frac{\ln (\frac{x+\Delta x}{x} )}{\Delta x} =\] \[=\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x} )\]Введем новую переменную u = x/$\Delta $х, которая стремится к бесконечности, и найдем предел новой функции
\[\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{u}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )=\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{1}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \ln e=\frac{1}{x} \]Найти производную функции по алгоритму определения
\[f(x)=6x^{2} \]Решение.
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{6(x+\Delta x)^{2} -6x^{2} }{\Delta x} =\frac{6(x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} )-6x^{2} }{\Delta x} \] \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{6x^{2} +12x\Delta x+6\Delta x^{2} -6x^{2} }{\Delta x} =12x+6\Delta x\]Найдем предел приращения при его стремлении к 0:
\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =12x+6\Delta x=12x+6*0=12x\]Ответ: Производная функции равна 6х.
