Определение производной

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Центральные понятия дифференциального исчисления -- производная и дифференциал -- возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.

Задача 1

Химическая реакция

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества х, уже вступившее в реакцию к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени $\Delta$ t будет соответствовать приращение $\Delta$ x величины х, а средняя скорость химической реакции за промежуток $\Delta$ t составит:

$\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Тогда предел средней скорости реакции при стремлении $\Delta$ t к нулю выражает скорость химической реакции в данный момент времени t.

Пример 1

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени

$0; 5$ изменяется по закону:

$v_{A@} =\frac{\Delta E}{\Delta t} =\frac{f(t_{1} )-f(t_{0} )}{t_{1} -t_{0} } =\frac{f(5)-f(0)}{5-0}$

Таким образом, скорость растворения в данный момент времени:

$v(t_{0} )=f`(t_{0} )$

$v(0)=f`(0)$

Задача 2

Теплоемкость тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = $\omega$ , то это происходит за счет того, что телу сообщается определенное количество тепла $Q$ ; значит $Q$ -- функция от температуры $\omega$ , до которой тело нагревается:

Q = Q( $\omega$ )

Пусть температура повысилась с $\omega$ до $\Delta$ $\omega$ , тогда количество тепла будет равно:

Q = Q( $\omega$ + $\Delta$ $\omega$ ) - Q( $\omega$ )

Отношение $\Delta$ Q/ $\Delta$ $\omega$ -- количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 10. Данное отношение носит название средней теплоемкости -- предела отношения приращения количества тепла к приращению температуры.

«Определение производной» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Задача 3

Издержки производства

Пусть y -- издержки производства, а х -- количество продукции, тогда $\Delta$ х -- прирост продукции, а $\Delta$ y -- приращение издержек производства. В этом случае производная:

$\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Выражает предельные издержки производства и приближенно -- дополнительные затраты на единицу продукции:

$MC=\frac{\Delta TC}{\Delta Q}$

Определение

Если отношение

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном значении х, называется предел отношений $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ приращения $\Delta$ у функции к соответствующему приращению независимого переменного стремящегося к нулю.

$f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Производная функции - одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция - восстановление функции по известной производной -- интегрированием.

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

Записать отношение

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta$ x;
Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Пример 2

Найти производную функции по алгоритму определения

$y=\ln x$

Решение.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln (x)}{\Delta x} =\frac{\ln (\frac{x+\Delta x}{x} )}{\Delta x} =$

$=\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x} )$

Введем новую переменную u = x/ $\Delta$ х, которая стремится к бесконечности, и найдем предел новой функции

$\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{u}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )=\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{1}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \ln e=\frac{1}{x}$

Пример 3

Найти производную функции по алгоритму определения

$f(x)=6x^{2}$

Решение.