Механический смысл производной второго порядка

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Производная второго порядка

Рассмотрим прямолинейное движение точки $s = f(t)$ , где $t$ -- время, а $s$ -- расстояние от точки прямой. Дифференцируя по $t$ , получаем скорость движения:

Составим производную второго порядка -- ускорение в момент времени:

Пусть f(t) -- многочлен второй степени:

Формула пути равномерно ускоренного или равномерно замедленного движения

Ускорение $w$ постоянно, и коэффициент $a = 1/2w$ . Подставляя $t=0$ , получим $b=v_0$ , т.е. коэффициент $b$ равен начальной скорости и $с = s_0$ и с равно расстоянию точки в момент времени $t=0$ от начала координат на прямой. Подставляя найденные значение $a,b,c$ в выражение для $s$ , получим формулу пути равномерно ускоренного $(w > 0)$ или равномерно замедленного $(w

$s=\frac{1}{2} wt^{2} +v_{0} t+s_{0}$

Зная закон изменения пути, можно дифференцируя по $t$ , определить ускорение $w$ и силу производящую движение $f$ , поскольку согласно второму закону Ньютона $f = mn$ , где $m$ -- масса движущейся точки.

При криволинейном движении $f''(t)$ дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к траектории.

Рассмотрим случай гармонического колебательного движения точки М, когда $s$ этой точки от некоторой точки О на прямой, по которой движется точка М, определяется по формуле:

Где $а$ -- амплитуда, $\tau$ -- период колебания, $\omega$ -- фаза.

Дифференцируя выражение, определим скорость $v$ и силу $f$ :

Пример 1

Найти момент времени $t$ , при котором ускорение прямолинейно движущейся точки равно 0, если движение производится по закону:

$x(t)=t\ln (4t-1)$

Решение.

Найдем ускорение точки по смыслу второй производной

$a(t)=x''(t)$

Найдем производную первого порядка по формуле производной произведения

$y' = (fx1 \cdot fx2)' = fx'1fx2 + fx1fx'2$

$y'(t)=\left[t\ln (4t-1)\right]{{'} } =t'\ln (4t-1)+t\cdot \ln (4t-1)'$

Вычислим производные слагаемых

$y'(t)=t'\ln (4t-1)+t\cdot \ln (4t-1)'=1\cdot \ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot (4t-1)'=$

$y'(t)=1\cdot \ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot (4t-1)'=\ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot 4=$

Упростим выражение

$y'(t)=\ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot 4=\ln (4t-1)+\frac{4t}{4t-1}$

Найдем вторую производную как производную от полученного выражения

$y''(t)=\left[\ln (4t-1)+\frac{4t}{4t-1} \right]{{'} } =\ln (4t-1)'+\left(\frac{4t}{4t-1} \right){{'} }$

Производная суммы равна сумме производных. Найдем производные каждого слагаемого.

$\ln (4t-1)'=\frac{1}{4t-1} \cdot 4$

частного

Запишем полученный результат

$y''(t)=\left[\ln (4t-1)+\frac{4t}{4t-1} \right]{{'} } =\frac{1}{4t-1} \cdot 4+\frac{4\cdot \left(4t-1\right)-\left(4t\right)\cdot 4}{\left(4t-1\right)^{2} }$

Упростим выражение

$y''(t)=\frac{4}{4t-1} +\frac{16t-4-16t}{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{4}{4t-1} +\frac{-4}{\left(4t-1\right)^{2} }$

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим

$y''(t)=\frac{4(4t-1)}{\left(4t-1\right)^{2} } +\frac{-4}{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{16t-4-4}{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{16t-8}{\left(4t-1\right)^{2} }$

Поскольку ускорение точки равно 0, запишем:

$\frac{16t-8}{\left(4t-1\right)^{2} } =0$

Из знаменателя уравнения видно, что $t$ не может быть равно $1/4$ , иначе знаменатель равен 0, чего допустить нельзя. Решим уравнение относительно числителя.

$16t-8=0$

$t=0,5$

«Механический смысл производной второго порядка» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Скорость тела выражается формулой:

$y(t)=\cos ^{2} t+5t^{3}$

Найти ускорение тела через $\pi$ секунд после начала движения.

Решение.

Найдем производную первого порядка по формуле производной суммы

$y'(x)=\left(\cos ^{2} t+5t^{3} \right){{'} } =\left(\cos ^{2} t\right){{'} } +\left(5t^{3} \right){{'} }$

Тригонометрическая функция является сложной функцией.

$\left(\cos ^{2} t\right){{'} } =2\cos ^{2} t\left(\cos t\right){{'} } =2\cos ^{2} t\cdot \left(-\sin t\right)$

Запишем выражение производной

$y'(t)=\left(\cos ^{2} t+5t^{3} \right){{'} } =\left(\cos ^{2} t\right){{'} } +\left(5t^{3} \right){{'} } =2\cos ^{2} t\cdot \left(-\sin t\right)+5\cdot 3t^{2}$