Производная второго порядка
Рассмотрим прямолинейное движение точки $s = f(t)$, где $t$ -- время, а $s$ -- расстояние от точки прямой. Дифференцируя по $t$, получаем скорость движения:
Составим производную второго порядка -- ускорение в момент времени:
Пусть f(t) -- многочлен второй степени:
Формула пути равномерно ускоренного или равномерно замедленного движения
Ускорение $w$ постоянно, и коэффициент $a = 1/2w$. Подставляя $t=0$, получим $b=v_0$, т.е. коэффициент $b$ равен начальной скорости и $с = s_0$ и с равно расстоянию точки в момент времени $t=0$ от начала координат на прямой. Подставляя найденные значение $a,b,c$ в выражение для $s$, получим формулу пути равномерно ускоренного $(w > 0)$ или равномерно замедленного $(w \[s=\frac{1}{2} wt^{2} +v_{0} t+s_{0} \]
Зная закон изменения пути, можно дифференцируя по $t$, определить ускорение $w$ и силу производящую движение $f$, поскольку согласно второму закону Ньютона $f = mn$, где $m$ -- масса движущейся точки.
При криволинейном движении $f''(t)$ дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к траектории.
Рассмотрим случай гармонического колебательного движения точки М, когда $s$ этой точки от некоторой точки О на прямой, по которой движется точка М, определяется по формуле:
Где $а$ -- амплитуда, $\tau $ -- период колебания, $\omega $ -- фаза.
Дифференцируя выражение, определим скорость $v$ и силу $f$:
Найти момент времени $t$, при котором ускорение прямолинейно движущейся точки равно 0, если движение производится по закону:
\[x(t)=t\ln (4t-1)\]Решение.
- Найдем ускорение точки по смыслу второй производной \[a(t)=x''(t)\]
- Найдем производную первого порядка по формуле производной произведения $$y' = (fx1 \cdot fx2)' = fx'1fx2 + fx1fx'2$$ \[y'(t)=\left[t\ln (4t-1)\right]{{'} } =t'\ln (4t-1)+t\cdot \ln (4t-1)'\]
- Вычислим производные слагаемых \[y'(t)=t'\ln (4t-1)+t\cdot \ln (4t-1)'=1\cdot \ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot (4t-1)'=\] \[y'(t)=1\cdot \ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot (4t-1)'=\ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot 4=\]
- Упростим выражение \[y'(t)=\ln (4t-1)+t\cdot \frac{1}{4t-1} \cdot 4=\ln (4t-1)+\frac{4t}{4t-1} \]
- Найдем вторую производную как производную от полученного выражения \[y''(t)=\left[\ln (4t-1)+\frac{4t}{4t-1} \right]{{'} } =\ln (4t-1)'+\left(\frac{4t}{4t-1} \right){{'} } \]
- Производная суммы равна сумме производных. Найдем производные каждого слагаемого. \[\ln (4t-1)'=\frac{1}{4t-1} \cdot 4\] \[\left(\frac{4t}{4t-1} \right){{'} } =[формула \ частного]=\frac{\left(4t\right){{'} } \left(4t-1\right)-\left(4t\right)\left(4t-1\right){{'} } }{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{4\cdot \left(4t-1\right)-\left(4t\right)\cdot 4}{\left(4t-1\right)^{2} } \]
- Запишем полученный результат \[y''(t)=\left[\ln (4t-1)+\frac{4t}{4t-1} \right]{{'} } =\frac{1}{4t-1} \cdot 4+\frac{4\cdot \left(4t-1\right)-\left(4t\right)\cdot 4}{\left(4t-1\right)^{2} } \]
- Упростим выражение \[y''(t)=\frac{4}{4t-1} +\frac{16t-4-16t}{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{4}{4t-1} +\frac{-4}{\left(4t-1\right)^{2} } \]
- Приведем выражение к общему знаменателю и упростим \[y''(t)=\frac{4(4t-1)}{\left(4t-1\right)^{2} } +\frac{-4}{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{16t-4-4}{\left(4t-1\right)^{2} } =\frac{16t-8}{\left(4t-1\right)^{2} } \]
- Поскольку ускорение точки равно 0, запишем: \[\frac{16t-8}{\left(4t-1\right)^{2} } =0\]
- Из знаменателя уравнения видно, что $t$ не может быть равно $1/4$, иначе знаменатель равен 0, чего допустить нельзя. Решим уравнение относительно числителя. \[16t-8=0\] \[t=0,5\]
Скорость тела выражается формулой:
\[y(t)=\cos ^{2} t+5t^{3} \]Найти ускорение тела через $\pi $ секунд после начала движения.
Решение.
- Найдем производную первого порядка по формуле производной суммы \[y'(x)=\left(\cos ^{2} t+5t^{3} \right){{'} } =\left(\cos ^{2} t\right){{'} } +\left(5t^{3} \right){{'} } \]
- Тригонометрическая функция является сложной функцией. \[\left(\cos ^{2} t\right){{'} } =2\cos ^{2} t\left(\cos t\right){{'} } =2\cos ^{2} t\cdot \left(-\sin t\right)\]
- Запишем выражение производной \[y'(t)=\left(\cos ^{2} t+5t^{3} \right){{'} } =\left(\cos ^{2} t\right){{'} } +\left(5t^{3} \right){{'} } =2\cos ^{2} t\cdot \left(-\sin t\right)+5\cdot 3t^{2} \]
- Упростим результат вычислений \[y'(t)=\left(\cos ^{2} t+5t^{3} \right){{'} } =2\cos ^{2} t\cdot \left(-\sin t\right)+5\cdot 3t^{2} =15t^{2} -2\cos ^{2} t\sin t\]
- Найдем вторую производную как производную от результата вычисления производной первого порядка: \[y''(t)=\left(15t^{2} -2\cos ^{2} t\sin t\right){{'} } =\left(15t^{2} \right){{'} } -\left(2\cos ^{2} t\sin t\right){{'} } \] \[y''(t)=30t-2\left(\cos ^{2} t\sin t\right){{'} } =30t-2\left(\cos ^{2} t'\sin t+\cos ^{2} t\sin t'\right)=\] \[y''(t)=30t-2\left(\cos ^{2} t'\sin t+\cos ^{2} t\sin t'\right)=30t-2\left(-2\cos t\sin t\cdot \sin t+\cos ^{2} t\cdot \cos t\right)\] \[y''(t)=30t-2\cos t\left(-2\sin ^{2} t+\cos ^{2} t\right)\]
- Через $\pi $ секунд после начала движения ускорение равно: \[y''(t)=30\pi -2\cos \pi \left(-2\sin ^{2} \pi +\cos ^{2} \pi \right)=30\pi -2\left(-1\right)\cdot \left(-2\cdot 0+1\right)=30\pi -2\]
