Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Правило трех сигм

Содержание статьи

Напомним для начала следующие факты:

Вспомним формулу для нахождения вероятности того, что отклонение, распределенной по нормальному закону непрерывной случайной величины $X$, от математического ожидания $a$ по абсолютной величине (то есть по модулю) будет меньше $\delta $:

Напомним таблицу нахождения значений интегральной функции (таблица 1)

Значения интегральной функции $Ф(x)$.

Рисунок 1. Значения интегральной функции $Ф(x)$.

Теперь найдем, чему будет равна вероятность того, что отклонение, распределенной по нормальному закону непрерывной случайной величины $X$, от математического ожидания $a$ по абсолютной величине (то есть по модулю) будет меньше $3\sigma $, то есть:

Геометрически этот факт можно представить следующим образом:



Рисунок 2.

Из всего вышесказанного сформулируем следующее правило:

Правило трёх сигм: Если непрерывная случайная величина $X$ распределена по нормальному закону, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания $a$ не превосходит утроенного значения среднего квадратического отклонения $\sigma $.

Примеры решения задач на применение правила трех сигм

Пример 1

Длина изготавливаемого стержня подчинена нормальному закону распределения. Математическое ожидание $a=1$ м, а среднее математическое отклонение $\sigma =0,01$ м. Найти границы, пределах которых гарантируется длина стержня.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся правилом трех сигм:

\[P\left(|X-a|
Пример 2

Текущая цена на молоко подчинена нормальному закону распределения. Математическое ожидание $a=25$ рублей, а среднее математическое отклонение $\sigma =1$ рубль. Найти границы, в которых будет находиться текущая цена нам молоко.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся правилом трех сигм:

\[P\left(|X-a|Так как случайная величина (цена) распределена по нормальному закону, то \[P\left(\left|X-25\right|Ответ: (22,28).
Пример 3

На заводе изготавливают шурупы для ноутбуков. Размер диаметра шурупа распределен по нормальному закону распределения с математическим ожиданием $a=0,2\ $см и средним квадратическим отклонением $\sigma =0,02$ мм. В каких границах можно практически 100\% гарантировать размер шурупа?

Решение.

Вначале приведем все величины к одному измерению:

$a=0,2\ $см$=2$ мм.

Так как случайная величина подчинена нормальному закону распределения, то мы можем применить правило трех сигм:

\[P\left(\left|X-2\right|Ответ: (1,94, 2,06)
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис