Геометрический смысл дифференциала

Определить приращение и дифференциал функции y = 2х3+5 при переходе х от значения 1 к значению 1,05.

Решение.

1. Определим приращение заданной функции при произвольных значениях х и $\Delta$х.
$$dy=y'dx=6x^{2} dx$$ $$\Delta y=2(x+\Delta x)^{3} +5-2x^{3} -5=2x^{3} +6x^{2} \Delta x+6x\Delta x^{2} +2\left(\Delta x\right)^{2} +5-2x^{3} -5$$ $$\Delta y=6x^{2} \Delta x+6x\Delta x^{2} +2\left(\Delta x\right)^{2}$$
2. Найдем приращение аргумента.
$$\Delta x=1,05-1=0,05$$
3. Подставим числовые значения в равенство приращения функции
$$\Delta y=6\cdot 1^{2} \cdot 0,05+6\cdot 1\cdot 0,05^{2} +2\left(0,05\right)^{2} =0,3+0,015+0,005=0,32$$

Доказать, что если $\Delta$х -- бесконечно малая величина, то с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство sin $\Delta$х ≈ $\Delta$х

Доказательство.

Рассмотрим функцию y = sinx. Приращение этой функции $\Delta$y = sin (x + $\Delta$х) -- sinx, а ее дифференциал dy = cosx $\Delta$х. Поскольку $\Delta y\approx dy$:

sin (x + $\Delta$х) -- sinx ≈ cosx $\Delta$х

sin (x + $\Delta$х) ≈ cosx $\Delta$х + sinx

Предположим что $х = 0$, тогда формула имеет вид:

sin (0 + $\Delta$х) ≈ cos0 $\Delta$х + sin0

sin $\Delta$х ≈ $\Delta$х

Формула, полученная в доказательстве примера 2, показывает, что для малых углов (в радианах) синус равен числу радиан, содержащихся в угле.

sin $\Delta$х ≈ $\Delta$х

Например, 40 = 0,0698, значит sin0,0698 ≈ 0,0698.

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Решение.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

$$\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s}$$

Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta$s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

$$\delta _{s} =\frac{ds}{s}$$

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

$$s=\frac{1}{4} \pi x^{2}$$ $$ds=\frac{1}{2} \pi xdx$$

Таким образом,

$$\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x}$$

Заменим х и dx числовыми значениями

$$\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004$$

(что составляет погрешность 4%)

Доказать, что приближенная относительная погрешность вычисленного объема шара равна утроенной погрешности в измерении его диаметра.

Решение.

Объем шара с диаметром х вычисляется по формуле:

$$V=\frac{1}{6} \pi x^{3}$$

Погрешность вычислений $\Delta$V приближенно равна

$$dV=\frac{1}{2} \pi x^{2} dx$$

Тогда относительная погрешность составит:

$$\delta _{V} \approx \frac{dV}{V}$$ $$\delta _{V} \approx \frac{\frac{1}{2} \pi x^{2} dx}{\frac{1}{6} \pi x^{3} }$$ $$\delta _{V} \approx 3\frac{dx}{x}$$

Поскольку относительная погрешность измерения диаметра равна:

$$\delta _{x} \approx \frac{dx}{x}$$

То относительная погрешность равна:

$$\delta _{V} \approx 3\delta _{x}$$