Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Производная и дифференциал
Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть $y = f(x)$ и $x = \varphi (y)$ -- взаимно обратные функции. Тогда если функция $y = f(x)$ имеет не равную нулю производную $f'(x)$ , то обратная функция имеет производную $\varphi '(y)$ .

$\phi '(y)=\frac{1}{f'(y)}$ или $x'_{y} =\frac{1}{y'_{x} }$

Поскольку $y = f(x)$ и $x =$ $\varphi (y)$ -- взаимно обратные функции, то x = $\varphi (f(x))$ . Применяя дифференцирование, получаем:

Найдем производную функции y=arcsinx, воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции. Обратной данной является функция $x = siny$ .

Поскольку $\arcsin x=\sqrt{1-x^{2} }$ . Таким образом,

Аналогично выводится равенство для:

Полученные формулы справедливы для отрезка $-1

Найдем производную функции $y = arctgx$ . Обратной к ней будет функция $x = tgy$ .

Условия дифференцируемости выполнены. Значит:

Аналогично выводится равенство для:

Пример 1

Найти производную функции

$y=\arcsin x\cdot \arccos x$

Решение.

Воспользуемся дифференцированием:

$y'=\left(\arcsin x\cdot \arccos x\right){{'} } =arcsin'x\cdot \arccos x+\arcsin x\cdot arccos'x$

$y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \cdot \arccos x-\arcsin x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } }$

Упростим выражение

$y'=\frac{\arccos x-\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2} } }$

Пример 2

Найти дифференциал в точке х = 1 при $\Delta$ х = 0,08 функции

$y=arctg^{3} \sqrt{x}$

Решение.

Применим правило замены переменных:

$t=\sqrt{x}$

$u=arctg\sqrt{t}$

$y=u^{3}$

Воспользуемся дифференцированием:

$y'_{x} =y'_{u} \cdot u'_{t} \cdot t'_{x} =3u^{2} \cdot \frac{1}{1+t^{2} } \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }$

$y'_{x} =3arctg^{2} \sqrt{x} \cdot \frac{1}{1+\left(\sqrt{x} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }$

Упростим выражение

$y'_{x} =\frac{3arctg^{2} \sqrt{x} }{2\sqrt{x} \left(1+x\right)}$

Выполним замену $х = 1$

$y'_{x=1} =\frac{3arctg^{2} \sqrt{1} }{2\sqrt{1} \left(1+1\right)} =\frac{3arctg^{2} 1}{4} =\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{\pi }{4} \right)^{2} =\frac{3\pi ^{2} }{64}$

Тогда

$dy=y'dx=\frac{3\pi ^{2} }{64} \cdot 0,08=\frac{3\pi ^{2} }{800}$

«Дифференцирование обратных тригонометрических функций» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 3

Найти производную функции

$y=\arcsin (\sin x)$

Решение.

Запишем производную

$y'=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} x} } \cos x=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos ^{2} x} } =\frac{\cos x}{\left|\cos x\right|}$

Можно сделать вывод, что если соsx принимает положительные значения -- производная равна единице, иначе не существует.

Рисунок 1. График функции $y=\arcsin (\sin x)$

Пример 4

Найти производную функции

$y=\arcsin e^{x}$

Решение.

$y'=\left(\arcsin e^{x} \right){{'} } =\frac{1}{\sqrt{1-\left(e^{x} \right)^{2} } } \left(e^{x} \right){{'} }$

$y'=\frac{1}{\sqrt{1-\left(e^{x} \right)^{2} } } \left(e^{x} \right){{'} } =\frac{e^{x} }{\sqrt{1-e^{2x} } }$

Пример 5

Найти производную функции

$y=\left(\arcsin \frac{1}{x} \right)^{2}$

Решение.

$y'=\left(\arcsin \frac{1}{x} \right)^{2} {{'} } =2\arcsin \frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2} } } } \left(\frac{1}{x} \right){{'} } =-2\arcsin \frac{1}{x} \frac{1}{x\sqrt{x^{2} -1} }$

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2024