Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Бесконечно малые величины и их свойства

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Предел / Бесконечно малые величины и их свойства
Бесконечно малые величины и их свойства

Что такое бесконечно малая величина

Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Определение

Бесконечно малой величиной называют числовые функции или последовательности, бесконечно стремящиеся к нулю.

Проследим изменение бесконечно малых на рисунках 1 и 2.

Функция y = f (x) пересекает ось Ох

Рисунок 1. Функция y = f (x) пересекает ось Ох

Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

Рисунок 2. Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

Что такое исчисление бесконечно малых величин

Вычисления с бесконечно малыми величинами, при которых результатом является бесконечно непрерывная сумма бесконечно малых, называют исчислением бесконечно малых величин.

Бесконечно малой последовательностью является такая последовательность an, для которой выполняется равенство:

\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0\]
Пример 1

Рассмотрим последовательность

\[\frac{1}{n} =\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{4} ...\frac{1}{n} \]

Последовательность бесконечно убывает, а значит, является бесконечно малой величиной.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки х0, если выполняется условие:

\[\mathop{\lim }\limits_{n\to x_{0} } f(x)=0\]

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если выполняется одно из условий:

\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } f(x)=0; \mathop{\lim }\limits_{n\to -\infty } f(x)=0\]

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если:

$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } f(x)=a$, то $f(x)-a=a(x)$ , $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(f(x)-a\right)=0$

Бесконечно малая величина является переменной величиной, которая будет меньше числа $\varepsilon $ лишь в результате своего стремления х к а.

\[\mathop{\lim }\limits_{n\to a} f(x)=0\]
Определение

Функция y = f (x) называется бесконечно малой (при $x>+∞$), если каково бы ни было ${\mathbf \varepsilon } > 0$, можно найти такое число N, что при всех $x > N$ выполняется неравенство:

\[\left|f(x)\right|
Пример 2

Доказать, что функция

\[y=\frac{1}{x^{2} } \]

является бесконечно малой при $x>+∞$.

Доказательство: Определим, что при $x>+∞$ предел функции b=0, т.е. что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое N, что при $x > N$ выполняется неравенство:

\[\left|f(x)\right|=\left|\frac{1}{x^{2} } \right|=\frac{1}{x^{2} } Данное неравенство справедливо только если \[x>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon } } =N\]

Аналогично для функции вида

$y=\frac{1}{x^{a} } $ (а -- любое положительное число)

Справедливо утверждение, что функция бесконечно малая.

Пример 3

Докажем, что функция $y = x^3$ является бесконечно малой при $x > 0$.

Доказательство: Зададим $\varepsilon $ $>$ 0. Неравенство |f(x)| = |x3| $ \[\left|x\right|Таким образом, неравенство $|x^3| \[N=-\sqrt[{3}]{\varepsilon } \begin{array}{cc} {} & {\begin{array}{cc} {8} & {M=\sqrt[{3}]{\varepsilon } } \end{array}} \end{array}\]

Это значит, что

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} x^{3} =0\]

т.е. функция $y = x^3$ бесконечно малая при $x > 0$.

Пример 4

Определим, является ли бесконечно малой при $x > +∞$ функция:

\[y=2-\frac{1}{x} \]

Решение:

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(2-\frac{1}{x} \right)=2-0=2\ne 0\]

Ответ: Функция не является бесконечно малой при $x > +∞$.

Свойства бесконечно малых

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  2. Произведение бесконечно малых --- бесконечно малая.
  3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную (или константу) --- бесконечно малая.
  4. Если $a_n$ --- бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=1 / a_n$ --- бесконечно большая последовательность.
Пример 5

Докажем, что функция

\[y=\frac{1}{x} +\frac{1}{\sqrt{x} } +\frac{1}{x^{2} } \]

Является бесконечно малой функцией при $x > +∞$.

Доказательство: Так как каждое слагаемое функции является бесконечно малой при $x > +∞$ (см. пример 2), по свойству 1 -- функция является бесконечно малой величиной.