Что такое дифференциал функции
Если дана дифференцируемая функция y=f(x), то ее приращение
Где α→0 при Δx→0.
При Δx→0 величина αΔх - бесконечно малая порядка выше, чем Δх. Из равенства Δy следует, что приращение функции, которая имеет производную в точке х, не равную нулю, может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. В первое слагаемое f`(х) приращение Δх является приращением первой степени. Именно это слагаемое является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом.
Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
dy = f `(x) \Delta х
Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение dx = \Delta х.
\Delta y = dy + \alpha \Delta х
Второе слагаемое выражения\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x при \Delta x\to 0 - бесконечно малая высшего порядка величина. Таким образом, разность \Delta y -- dy между приращением функции и ее дифференциалом равная \alpha \Delta х -- бесконечно малая величина высшего по сравнению с \Delta х порядка.
Для вычисления дифференциала функции необходимо задать начальное значение независимой переменной x и ее приращение. Если приращение слишком мало, а f `(x) не равно нулю, то величина \alpha \Delta х значительно меньше дифференциала функции, причем тем меньше, чем меньше \Delta х.
Поэтому в ряде случаев вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:
\Delta y\approx dyПоскольку
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) dy=f'(x)\Delta xНаращенное значение функции имеет вид:
f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta xС помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке x + \Delta х ,близкой к х по известному значению функции.
Дифференцирование основных элементарных функций получается путем нахождения производной и добавления к ней переменной dx.
d(cu)=cdu d(u\pm v)=du\pm dv d(uv)=udv+vdu d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} }Определить приращение и дифференциал функции y = x2 при переходе х от значения 2 к значению 2,03.
Решение.
- Определим приращение заданной функции при произвольных значениях х и \Delta х. dy=y'dx=2xdx \Delta y=(x+\Delta x)^{2} -x^{2} =x^{2} +2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2} -x^{2} =2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2}
- Найдем приращение аргумента. \Delta x=2,03-2=0,03
- Подставим числовые значения в равенство приращения функции \Delta y=2\cdot 2\cdot 0,03+\left(0,03\right)^{2} =0,12+0,0009
Показать, что при \Delta x\to 0 с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство
(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta xРешение.
Рассмотрим функцию f(x) = x^n. Тогда
\Delta y=(x+\Delta x)^{n} -x^{n} dy=nx^{n-1} \Delta xПоскольку \Delta y\approx dy, то:
(x+\Delta x)^{n} -x^{n} \approx nx^{n-1} \Delta x (x+\Delta x)^{n} \approx x^{n} +nx^{n-1} \Delta xПолагая, что х = 1, для достаточно малых приращений имеет место приближенное равенство
(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta xФормула, полученная в примере 2, широко используется для приближенных вычислений.
(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta xНапример:
- Приближенно вычислить (1,02)^3
- Приближенно вычислить \sqrt{1,005}
Где \Delta х = 0,03, n = 5
(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3Где \Delta х = 0,03, n = 5
(1,02)^{3} \approx 1,06Где \Delta х = 0,005, n =0,5
\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005 \sqrt{1,005} \approx 1,0025При нагревании объем твердого тела растет пропорционально кубу его линейного расширения. Если \alpha -- коэффициент объемного расширения, а t -- температура, то имеет место формула
1+\beta t=(1+\alpha t)^{3}Доказать, что
\beta \approx 3\alphaДоказательство.
При малых \alpha
(1+\alpha t)^{3} \approx 1+3\alpha tЗначит, 1+\beta t=1+3\alpha t и \beta \approx 3\alpha
