Дифференциал функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Что такое дифференциал функции

Если дана дифференцируемая функция $y = f(x)$ , то ее приращение

Где $\alpha \to 0$ при $\Delta x\to 0$ .

При $\Delta x\to 0$ величина $\alpha$ $\Delta$ х - бесконечно малая порядка выше, чем $\Delta$ х. Из равенства $\Delta$ y следует, что приращение функции, которая имеет производную в точке х, не равную нулю, может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. В первое слагаемое f`(х) приращение $\Delta$ х является приращением первой степени. Именно это слагаемое является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом.

Определение

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

$dy = f `(x) \Delta х$

Что такое дифференциал независимой переменной

Определение

Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение dx = $\Delta$ х.

$\Delta$ y = dy + $\alpha$ $\Delta$ х

Второе слагаемое выражения $\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x$ при $\Delta x\to 0$ - бесконечно малая высшего порядка величина. Таким образом, разность $\Delta$ y -- dy между приращением функции и ее дифференциалом равная $\alpha$ $\Delta$ х -- бесконечно малая величина высшего по сравнению с $\Delta$ х порядка.

Для вычисления дифференциала функции необходимо задать начальное значение независимой переменной x и ее приращение. Если приращение слишком мало, а f `(x) не равно нулю, то величина $\alpha$ $\Delta$ х значительно меньше дифференциала функции, причем тем меньше, чем меньше $\Delta$ х.

Поэтому в ряде случаев вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

$\Delta y\approx dy$

Поскольку

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$

$dy=f'(x)\Delta x$

Наращенное значение функции имеет вид:

$f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x$

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке x + $\Delta$ х ,близкой к х по известному значению функции.

Дифференцирование основных элементарных функций получается путем нахождения производной и добавления к ней переменной dx.

$d(cu)=cdu$

$d(u\pm v)=du\pm dv$

$d(uv)=udv+vdu$

$d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} }$

«Дифференциал функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 1

Определить приращение и дифференциал функции y = x2 при переходе х от значения 2 к значению 2,03.

Решение.

Определим приращение заданной функции при произвольных значениях х и $\Delta$ х.

$dy=y'dx=2xdx$

$\Delta y=(x+\Delta x)^{2} -x^{2} =x^{2} +2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2} -x^{2} =2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2}$

Найдем приращение аргумента.

$\Delta x=2,03-2=0,03$

Подставим числовые значения в равенство приращения функции

$\Delta y=2\cdot 2\cdot 0,03+\left(0,03\right)^{2} =0,12+0,0009$

Пример 2

Показать, что при $\Delta x\to 0$ с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство

$(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x$

Решение.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$ . Тогда

$\Delta y=(x+\Delta x)^{n} -x^{n}$

$dy=nx^{n-1} \Delta x$

Поскольку $\Delta y\approx dy$ , то:

$(x+\Delta x)^{n} -x^{n} \approx nx^{n-1} \Delta x$

$(x+\Delta x)^{n} \approx x^{n} +nx^{n-1} \Delta x$

Полагая, что х = 1, для достаточно малых приращений имеет место приближенное равенство

$(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x$

Формула, полученная в примере 2, широко используется для приближенных вычислений.

$(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x$

Например:

Приближенно вычислить $(1,02)^3$

Где $\Delta х = 0,03, n = 5$

$(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3$

Где $\Delta$ х = 0,03, n = 5

$(1,02)^{3} \approx 1,06$

Приближенно вычислить $\sqrt{1,005}$

Где $\Delta х = 0,005, n =0,5$

$\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005$

$\sqrt{1,005} \approx 1,0025$

Пример 3

При нагревании объем твердого тела растет пропорционально кубу его линейного расширения. Если $\alpha$ -- коэффициент объемного расширения, а t -- температура, то имеет место формула