Признак делимости на 9: правило

При подборе делителей чисел иногда проще использовать признаки делимости, чем выполнять деление целиком. Ниже мы сформируем признак делимости числа на 9.

Признак делимости на 9 — правило:

Докажем это для четырёхзначного числа.

Пусть $a$— цифра, обозначающая тысячи, $b$ — сотни, $c$ — десятки, а $d$ — единицы.

Запишем четырёхзначное число $n$ через эти обозначения:

$n=a \cdot 1000 + b \cdot 100 + 10 \cdot с + d$;

Каждый разряд кроме единиц запишем как сумму числа, которое делится на 9, и единицы:

$n= (999+ 1) a + (99+1)b + (9 + 1) c + d$;

$n=999a + 99b+9c + a + b + c + d$;

$n=9(111a + 11b+c) + (a+b+c+d)$.

В последнем равенстве 1-ое слагаемое в скобках делится на 9, что видно по вынесенному множителю. То есть, делится ли число на 9 зависит от того, делится ли на 9 сумма $(a+b+c+d)$.

Признаки деления на 9 для чисел с другим количеством разрядов выводятся аналогично.