Понятие наибольшего и наименьшего значений функции.
Понятие набольшего и наименьшего значений тесно связано с понятием критической точки функции.
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;
2) $f'\left(x_0\right)=0$ или не существует.
Введем теперь определения наибольшего и наименьшего значения функции.
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наибольшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство
\[f\left(x\right)\le f(x_0)\]Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наименьшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство
\[f\left(x\right)\ge f(x_0)\]Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции
Введем для начала понятие непрерывной на отрезке функции:
Функция $f\left(x\right)$ называется непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$, а также непрерывна справа в точке $x=a$ и слева в точке $x=b$.
Сформулируем теорему о непрерывной на отрезке функции.
Теорема Вейерштрасса
Непрерывная на отрезке $[a,b]$ функция $f\left(x\right)$ достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют точки $\alpha ,\beta \in [a,b]$ такие, что для всех $x\in [a,b]$ выполняется неравенство $f(\alpha )\le f(x)\le f(\beta )$.
Геометрическая интерпретация теоремы изображена на рисунке 1.
Здесь функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения в точке $x=\alpha $ достигает своего наибольшего значения в точке $x=\beta $.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$
1) Найти производную $f'(x)$;
2) Найти точки, в которых производная $f'\left(x\right)=0$;
3) Найти точки, в которых производная $f'(x)$ не существует;
4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку $[a,b]$;
5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка $[a,b]$;
6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение.
Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0,4]: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$
Решение.
Решение будем проводить по выше данной схеме.
1) $f'\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
2) $f'\left(x\right)=0$;
\[6x^2-30x+36=0\] \[x^2-5x+6=0\] \[x=3,\ x=2\]3) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;
4) $2\in \left[0,4\right],\ 3\in [0,4]$;
5) Значения:
\[f\left(0\right)=1\] \[f\left(2\right)=16-60+72+1=29\] \[f\left(3\right)=54-135+108+1=28\] \[f\left(4\right)=128-240+144+1=33\]6) Наибольшее из найденных значений - $33$, наименьшее из найденных значений - $1$. Таким образом, получим:
Ответ: $max=33,\ min=1$.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0,6]: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$
Решение.
Решение будем проводить по выше данной схеме.
1) $f'\left(x\right)=3x^2-6x-45$;
2) $f'\left(x\right)=0$;
\[3x^2-6x-45=0\] \[x^2-2x-15=0\] \[x=-3,\ x=5\]3) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;
4) $-3\notin \left[0,6\right],\ 5\in [0,6]$;
5) Значения:
\[f\left(0\right)=225\] \[f\left(5\right)=125-75-225+225=50\] \[f\left(6\right)=216-108-270+225=63\]6) Наибольшее из найденных значений - $225$, наименьшее из найденных значений - $50$. Таким образом, получим:
Ответ: $max=225,\ min=50$.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac{x^2-6x+9}{x-1}$
Решение.
Решение будем проводить по выше данной схеме.
1) $f'\left(x\right)=\frac{\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9)}{{(x-1)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}$;
2) $f'\left(x\right)=0$;
\[\frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}=0\] \[x^2-2x-3=0\] \[x=-1,\ x=3\]3) $f'(x)$ не существует в точке $x=1$
4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, однако 1 не принадлежит области определения;
5) Значения:
\[f\left(-2\right)=\frac{4+12+9}{-3}=-8\frac{1}{3}\] \[f\left(-1\right)=\frac{1+6+9}{-2}=-8\] \[f\left(2\right)=\frac{4-12+9}{1}=1\]6) Наибольшее из найденных значений - $1$, наименьшее из найденных значений - $-8\frac{1}{3}$. Таким образом, получим: \end{enumerate}
Ответ: $max=1,\ min==-8\frac{1}{3}$.
