Одними из основных аспектов применения производной к исследованию функции являются: исследование функции на возрастание и убывание, исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек экстремума функции, а также наибольшего и наименьшего значения функции. Рассмотрим их отдельно.
Экстремумы функции
Точки x0 называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции f(x).
x0 называется критической точкой функции f(x), если:
1) x0 - внутренняя точка области определения;
2) f′(x0)=0 или не существует.
Для исследования функции на существование точек экстремума, мы будем использовать теорему о достаточных условиях существования экстремума:
Достаточное условие экстремума
Пусть точка x0 является критической для функции y=f(x) и лежит в интервале (a,b). Пусть на каждом интервале (a,x0) и (x0,b) производная f′(x) существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) Если на интервале (a,x0) производная f′(x)>0, а на интервале (x0,b) производная $f'\left(x\right)
2) Если на интервале (a,x0) производная f′(x)0, то точка x0 - точка минимума для данной функции.
3) Если и на интервале (a,x0), и на интервале (x0,b) производная f′(x)>0 или производная $f'\left(x\right)
Схема исследования функции на экстремум
1) Найти область определения функции f(x);
2) Найти производную f′(x);
3) Найти точки, в которых выполняется равенство f′(x)=0;
4) Найти точки, в которых f′(x) не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной f′(x) на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.
Монотонность функции
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется возрастающей, если для любых точек x1,x2∈X при $x_1
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется возрастающей, если для любых точек x1,x2∈X при x1f(x2).
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется неубывающей, если для любых точек x1,x2∈X при $x_1
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется невозрастающей, если для любых точек x1,x2∈X при $x_1
Схема исследования функции на возрастание и убывание
1) Найти область определения функции f(x);
2) Найти производную f′(x);
3) Найти точки, в которых выполняется равенство f′(x)=0;
4) Найти точки, в которых f′(x) не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной f′(x) на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где f′(x)0 функция возрастает.
Наибольшее и наименьшее значение функции
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, достигает своего наибольшего значения, если существует точка x0∈X, такая, что для всех x∈X выполняется неравенство
f(x)≤f(x0)Функция y=f(x), определенная на промежутке X, достигает своего наименьшего значения, если существует точка x0∈X, такая, что для всех x∈X выполняется неравенство
f(x)≥f(x0)Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a,b]
1) Найти производную f′(x);
2) Найти точки, в которых производная f′(x)=0;
3) Найти точки, в которых производная f′(x) не существует;
4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку [a,b];
5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка [a,b];
6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение.
Выпуклость и вогнутость функции
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется выпуклой, если для любых точек x1,x2∈X выполняется неравенство
f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется вогнутой, если для любых точек x1,x2∈X выполняется неравенство
f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2Если в определении выпуклости и вогнутости функции нестрогие знаки заменить на строгие, то мы получим, соответственно, определение строго выпуклой и строго вогнутой функции.
Схема исследования функции на возрастание и убывание
1) Найти область определения функции f(x);
2) Найти вторую производную f″(x);
3) Найти точки, в которых выполняется равенство f″(x)=0;
4) Найти точки, в которых f″(x) не существует;
5) Определить знак производной f″(x) на каждом получившемся промежутке;
6) Сделать вывод: на промежутках, где f″(x)0 функция вогнута.
Задачи на применение производной
Исследовать функцию на возрастание, убывание, выпуклость, вогнутость и наличие точек максимумов и минимумов:f(x)=x2−2x+14
Решение:
1) Область определения - все действительные числа;
2) f′(x)=2x−24=x−12;
3) f′(x)=0;
x−12=0 x=14) f′(x) существует во всех точках области определения;
5) Координатная прямая:
Рисунок 1.
6) Определить знак производной f′(x) на каждом промежутке:
f′(x)>0, при (1,+∞) \[f'\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:
Рисунок 2.
Получаем:
Функция убывает, при (−∞,1), функция возрастает, при (1,+∞).
Точка x=1 - точка минимума, точки максимума нет.
8) f″(x)=12>0
Функция вогнута на всей области определения.
