Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+2⋅x и y=x+2.
Решение.
Графическое изображение фигуры:
Точки пересечения линий определяем как результат совместного решения их уравнений:
x2+2⋅x=x+2;x2+x−2=0;x1=−2;x2=1.Поскольку прямая находится выше параболы, то площадь фигуры вычисляем следующим образом:
S=1∫−2((x+2)−(x2+2⋅x))⋅dx=1∫−2(−x2−x+2)⋅dx;=(−13−12+2)−(83−2−4)=76+103=92 кв.ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2−6, y=−x2.
Решение.
Графическое изображение фигуры:
Точки пересечения линий определяем как результат совместного решения их уравнений:
x2−6=−x2;2⋅x2=6;x1=−√3;x2=√3.Поскольку вторая парабола находится выше первой, то площадь фигуры вычисляем следующим образом:
S=√3∫−√3((−x2)−(x2−6))⋅dx=√3∫−√3(−2⋅x2+6)⋅dx==−23⋅(3⋅√3+3⋅√3)+6⋅(√3+√3)=8⋅√3 кв.ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2−5⋅x+4 и y=2−2⋅x.
Решение.
Графическое изображение фигуры:
Точки пересечения линий определяем как результат совместного решения их уравнений:
x2−5⋅x+4=2−2⋅x;x2−3⋅x+2=0;x1=1;x2=2.Поскольку прямая находится выше параболы, то площадь фигуры вычисляем следующим образом:
S=2∫1((2−2⋅x)−(x2−5⋅x+4))⋅dx=2∫1(−x2+3⋅x−2)⋅dx==−83+3⋅2−2⋅2+13−32+2=−73−32+4=16 кв.ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, y=x2, y=−2⋅x+3.
Решение.
Графическое изображение фигуры:
Фигура ABC образована следующим образом:
- точка A -- пересечение кривых y=x2 и y=−2⋅x+3; координаты точек пересечения определяются из уравнения x2=−2⋅x+3; получаем xA=−3, xB=1;
- точка B -- пересечение всех трех кривых; координаты точки xB=1;
- точка C -- пересечение кривых y=x2 и y=x; координаты точек пересечения определяются из уравнения x2=x; получаем xC=0, xB=1.
Таким образом, площадь фигуры ABC можно представить состоящей из двух частей:
S=0∫−3((−2⋅x+3)−(x2))⋅dx+1∫0((−2⋅x+3)−(x))⋅dx==−9+9+9−32+3=212 кв.ед.
