Найти объем тела, образованного вращением (ОТВ) вокруг оси Ox плоской фигуры, ограниченной сверху параболой y1=−2⋅x2+16⋅x+18, снизу -- параболой y2=2⋅x2−8⋅x+18, а слева и справа прямыми x=1 и x=5 соответственно.
Выполняем графические построения:
тела вращения и площадь поверхности тела вращения">
При вращении этой плоской фигуры вокруг оси Ox верхняя парабола (обозначенная синим цветом) образует общий объем, а нижняя парабола (обозначенная оранжевым цветом) образует отверстие. Таким образом, ОТВ вычисляется как разность общего объема и объема отверстия.
Известно, что ОТВ (вокруг оси Ox) вычисляется по формуле V=π⋅b∫ay2(x)⋅dx, где y=y(x) -- неотрицательная непрерывная функция, образующая криволинейную трапецию на отрезке [a,b].
Общий объем будем вычислять по формуле V1=π⋅5∫1y21⋅dx.
Получаем:
V1=π⋅5∫1(−2⋅x2+16⋅x+18)2⋅dx= =π⋅5∫1((−2⋅x2)2+(16⋅x)2+(18)2+2⋅(−2⋅x2)⋅(16⋅x)+ +2⋅(−2⋅x2)⋅18+2⋅(16⋅x)⋅18)⋅dx= =π⋅5∫1(4⋅x4−64⋅x3+184⋅x2+576⋅x+324)⋅dx= =π⋅(4⋅5∫1x4⋅dx−64⋅5∫1x3⋅dx+184⋅5∫1x2⋅dx+576⋅5∫1x⋅dx+324⋅5∫1dx)= =π⋅(4⋅[x55]51−64⋅[x44]51+184⋅[x33]51+576⋅[x22]51+324⋅[x]51)= =π⋅(4⋅15⋅(55−15)−64⋅14⋅(54−14)+184⋅13⋅(53−13)+ +576⋅12⋅(52−12)+324⋅(5−1))= =π⋅(4⋅15⋅3124−64⋅14⋅624+184⋅13⋅124+576⋅12⋅24+324⋅4)= =π⋅(2499,2−9984+7605,3+6912+1296)=π⋅8328,5≈26151,5.Аналогичным образом находим объем отверстия:
V2=π⋅5∫1y22⋅dx=π⋅5∫1(2⋅x2−8⋅x+18)2⋅dx.Теперь вычисляем объем тела: V=V1−V2.
Вычислить ОТВ, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x4 и y=x.
Графическое изображение фигуры:
Решив совместно уравнения y=x4 и y=x, получим x1=0 и x2=1 -- этими прямыми фигура ограничена слева и справа.
Искомый объем определяется как разность объемов, полученных в результате вращения вокруг оси Ox двух криволинейных трапеций: первая ограничена прямой y1=x, вторая -- параболой y2=x4.
ОТВ, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=y1(x), снизу -- кривой y=y2(x), а также двумя прямыми x=a и x=b слева и справа, будем вычислять по формуле V=π⋅b∫a(y21−y22)⋅dx.
Имеем:
V=π⋅1∫0((x)2−(x4)2)⋅dx=π⋅[x33−x99]10=π⋅(13−19)=π⋅29.Зайти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривої y=√80⋅x+15 между точками з абсцисами x=3 и x=13.
Графическое изображение вращаемой кривой:
Площадь поверхности тела вращения выражается формулой Q=2⋅π⋅b∫ay⋅√1+y′2⋅dx, где y=y(x) -- неотрицательная функция, заданная на отрезке [a,b].
Находим выражение √1+y′2:
y′=802⋅√80⋅x+15; √1+y′2=√1+8024⋅(80⋅x+15)=12⋅√320⋅x+646080⋅x+15.Находим выражение для подынтегральной функции y⋅√1+y′2:
√80⋅x+15⋅12⋅√320⋅x+646080⋅x+15=12⋅√320⋅x+6460.Записываем интеграл и вычисляем площадь поверхности:
Q=π⋅13∫3√320⋅x+6460⋅dx= =π⋅[1320⋅(320⋅x+6460)12+112+1]133=π⋅[1480⋅(320⋅x+6460)32]133= =π480⋅[(320⋅x+6460)⋅√320⋅x+6460]133= =π480⋅((320⋅13+6460)⋅√320⋅13+6460− −(320⋅3+6460)⋅√320⋅3+6460)= =π480⋅(10620⋅√10620−7420⋅√7420)≈ ≈3,14480⋅(10620⋅103,053−7420⋅86,139)≈≈3,14480⋅(1094423−639151)≈3,14480⋅455272≈2978 кв.од.
