В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.
В связи с этим, все анализируемые и вычисляемые величины принято разделять на постоянные и переменные.
Что такое постоянная величина
Постоянная величина принимает равновозможные значения, в то время как переменная -- характеризуется своим непостоянством и принимает различные значения. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.
Рассмотрим несколько примеров:
- Пусть в равнобедренный треугольник вписано n окружности диаметров: x1,x2,..xn
- Рассмотрим накопительную величину сумм диаметров вписанных окружностей.
Рисунок 1. Пример переменной величины
Диаметр конечной окружности является величиной переменной! Чем больше число вписанных в треугольник окружностей, тем меньше радиус последней из них, т.е. при n , x
Рисунок 2. Пример переменной величины
Из рисунка 2 видно, что чем больше окружностей вписано, тем более вероятно приближение величины Y(сумма диаметров) к величине h:
При n , y
Число а называют пределом переменной величины х, если в процессе изменения х неограниченно приближается к а.
Опираясь на определение, можно сказать, что пределом переменной величины xn является число 0 для примера 1, и число h для величины Yn в примере 2.
Множество всех числовых значений переменной величины лежит на области изменения самой переменной.
Что такое упорядоченные переменные величины
Переменные величины называют упорядоченными, если область изменения переменной х равна:
Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность . Для таких величин значение считается предшествующим, а -- последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность -- это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы.
Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству
Предел постоянной всегда равен самой постоянной:
Переменная величина не может иметь двух пределов
Пусть переменная величина х, в процессе изменения неограниченно приближается к числу 8, принимая значение: 7,9; 7,99; 7,999 и т.д. В этом случае модуль разности:
По определению 2, число 8 -- предел переменной величины.
Предел переменной величины, учитывая наличие заданного произвольно малого положительного числа, можно изобразить следующим образом:
Рисунок 3. Окрестность точки а