В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.
В связи с этим, все анализируемые и вычисляемые величины принято разделять на постоянные и переменные.
Что такое постоянная величина
Постоянная величина принимает равновозможные значения, в то время как переменная -- характеризуется своим непостоянством и принимает различные значения. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.
Рассмотрим несколько примеров:
- Пусть в равнобедренный треугольник вписано n окружности диаметров: x1,x2,..xn
- Рассмотрим накопительную величину сумм диаметров вписанных окружностей.
Рисунок 1. Пример переменной величины
Диаметр конечной окружности является величиной переменной! Чем больше число вписанных в треугольник окружностей, тем меньше радиус последней из них, т.е. при n →∞, x →0.
Рисунок 2. Пример переменной величины
Из рисунка 2 видно, что чем больше окружностей вписано, тем более вероятно приближение величины Y(сумма диаметров) к величине h:
При n →∞, y →h
Число а называют пределом переменной величины х, если в процессе изменения х неограниченно приближается к а.
limx=aОпираясь на определение, можно сказать, что пределом переменной величины xn является число 0 для примера 1, и число h для величины Yn в примере 2.
limxnn→∞=0Множество всех числовых значений переменной величины лежит на области изменения самой переменной.
Что такое упорядоченные переменные величины
Переменные величины называют упорядоченными, если область изменения переменной х равна:
xn=1nЧастным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn. Для таких величин значение xi считается предшествующим, а xj -- последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность -- это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы.
Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа ε можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству
Предел постоянной всегда равен самой постоянной:
Переменная величина не может иметь двух пределов
Пусть переменная величина х, в процессе изменения неограниченно приближается к числу 8, принимая значение: 7,9; 7,99; 7,999 и т.д. В этом случае модуль разности:
|E−0|=0,1;0,01;0,001По определению 2, число 8 -- предел переменной величины.
limx=8Предел переменной величины, учитывая наличие заданного произвольно малого положительного числа, можно изобразить следующим образом:
Рисунок 3. Окрестность точки а
