Предел переменной величины

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

В связи с этим, все анализируемые и вычисляемые величины принято разделять на постоянные и переменные.

Что такое постоянная величина

Постоянная величина принимает равновозможные значения, в то время как переменная -- характеризуется своим непостоянством и принимает различные значения. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Рассмотрим несколько примеров:

Пусть в равнобедренный треугольник вписано n окружности диаметров: x1,x2,..xn

Пример переменной величины

Рисунок 1. Пример переменной величины

Диаметр конечной окружности является величиной переменной! Чем больше число вписанных в треугольник окружностей, тем меньше радиус последней из них, т.е. при n $\to \infty$ , x $\to 0.$

Рассмотрим накопительную величину сумм диаметров вписанных окружностей.

Пример переменной величины

Рисунок 2. Пример переменной величины

Из рисунка 2 видно, что чем больше окружностей вписано, тем более вероятно приближение величины Y(сумма диаметров) к величине h:

При n $\to \infty$ , y $\to h$

Определение

Число а называют пределом переменной величины х, если в процессе изменения х неограниченно приближается к а.

lim x = a

$\lim x=a$

Опираясь на определение, можно сказать, что пределом переменной величины xn является число 0 для примера 1, и число h для величины Yn в примере 2.

\underset{n \to \infty}{lim x_{n}} = 0

$\mathop{\lim x_{n} }\limits_{n\to \infty } =0$

\underset{n \to \infty}{lim Y_{n}} = h

$\mathop{\lim Y_{n} }\limits_{n\to \infty } =h$

Множество всех числовых значений переменной величины лежит на области изменения самой переменной.

Что такое упорядоченные переменные величины

Переменные величины называют упорядоченными, если область изменения переменной х равна:

x_{n} = \frac{1}{n}

$x_{n} =\frac{1}{n}$

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность $x_1,x_2,\dots , x_n$ . Для таких величин значение $x_i$ считается предшествующим, а $x_j$ -- последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность -- это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы.

«Предел переменной величины» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 2

Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа ${\mathbf \varepsilon }$ можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству

Определение

Замечание 1

Предел постоянной всегда равен самой постоянной:

Замечание 1

Замечание 2

Переменная величина не может иметь двух пределов

Пример 1

Пусть переменная величина х, в процессе изменения неограниченно приближается к числу 8, принимая значение: 7,9; 7,99; 7,999 и т.д. В этом случае модуль разности: