Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором множестве М значений аргумента х, если существует такое положительное число С, что при всех x∈M выполняется неравенство:
|f(x)|≤CТаким множеством может быть, например, интервал, отрезок или же вся числовая прямая.
Функция y=sin(x) ограничена на всей числовой прямой, так как для любого значения х имеем |sinx|≤1.
Ограниченная функция">
Рисунок 1. Ограниченная функция
Функция y = x3 + 4 ограничена на отрезке 0,3, так как для всех х, принадлежащих этому отрезку, имеет место неравенство:
|f(x)|≤f(3)=31Данное неравенство получается вследствие подстановки числа 3 вместо х функции:
y = 33 + 4 = 27 + 4 = 31
Значит |f(x)| ≤ 31.
Является ли функция y=1x ограниченной на интервале (0, 1)?
Ответ: Поскольку нельзя указать такое число С, чтобы при всех x∈(0,1) выполнялось неравенство:
1x≤CФункция не является ограниченной.
Если функция y=f(x) имеет предел при x→+∞, то она ограничена на некотором бесконечном интервале (N,+∞).
Пусть,
limx→+∞f(x)=bТогда, согласно определению предела, для ε = 1 имеем
\[\exists N\mathop{\forall }\limits_{x} (x>N)\Rightarrow \left|f(x)-b\right|Но по свойству абсолютных величин, выполняется неравенство: |f(x)−b|≥|f(x)|−b, поэтому |f(x)−b|Азначит,\[|f(x)|Всвязисчемможносделатьвывод,чтофункцияy=f(x)ограниченанабесконечноминтервале(N,+ \infty)$.Функция, ограниченная на бесконечном интервале (N,+∞), называется ограниченной при x→+∞.
Если функция y=f(x) имеет предел, отличный от нуля (при x→+∞), то функция
y=1f(x)ограничена (на некотором бесконечном интервале).
Пусть,
limx→+∞f(x)=b,(b≠0)И пусть задано положительное число $\varepsilon \[\exists N\mathop{\forall }\limits_{x} (x>N)\Rightarrow \left|f(x)-b\right|Так как:
|f(x)−b|=|b−f(x)|≥|b|−|f(x)|, то |b|−|f(x)||b|−ε>0А значит,
\[\left|\frac{1}{f(x)} \right|=\frac{1}{\left|f(x)\right|}
