Числовые последовательности

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Числовой последовательностью называется функция $a_n= f(n)$ натурального аргумента n.

$n = x_1, x_2, x_3 \dots x_i$

Числа $x_1, x_2, x_3 \dots x_i$ являются членами числовой последовательности

Например,

n = -2, 0, 2, 4

где,

-2 -- первый член последовательности;

0 -- второй член последовательности;

2 -- третий член последовательности;

4 -- четвертый член последовательности.

Кратно, числовая последовательность записывается в виде:

$a_n= f(n) или \{a_n \}$

Определение

Числовая последовательность -- функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Совокупность таких чисел an называют множеством значений последовательности.

Способы задания числовой последовательности

1. Словесный

Пример 1

Написать последовательность всех четных неотрицательных чисел

$2,4,6,8\dots$

Пример 2

Словестно описать последовательность вида: $0,5,10,15,20 \dots$

Ответ: дана последовательность неотрицательных, кратных 5 чисел.

2. Аналитический -- с помощью формулы

Пример 3

Вычислить первые три члена последовательности

$a_n=4*(n-1)$

Решение:

$a1 = 4*(n-1) = 4*(1-1) = 0$

$a2 = 4*(n-1) = 4*(2-1) = 4$

$a3 = 4*(n-1) = 4*(3-1) = 8$

Пример 4

Привести аналитический вид последовательности вида: $1,4,7 \dots$

Решение:

4 = 3+1

7 = 4+3

Значит, числовая последовательность имеет вид: $a_n = 3n-2$

«Числовые последовательности» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

3. Реккурентный способ для вычисления следующего члена последовательности использует в своей формуле значения ее предыдущего члена.

Пример 5

Записать первые три члена последовательности $a_n$ , если $а_1 = 2, а_{n+1} = 4 + а_n$

Решение:

а1 = 2

а2 = 4 + 2 = 6

а3 = 6 + 2 = 8

Ответ: 2,6,8

4. Графический. Числовая последовательность определяется с помощью графика на котором изображены отдельные точки, абсциссы которых являются членами числовой последовательности, а ординаты - порядковым номером членов последовательности.

Пример 6

По графику, изображенному на рисунке 1, записать числовую последовательность.

Графическое определение последовательности

Рисунок 1. Графическое определение последовательности

Решение:

Выпишем координаты каждой точки изображенной на графике:

(1;0) (2;2) (3;5) (4;4) (5;2)

Получим:

а1 = 0, а2 = 2, а3 = 5, а4 = 4, а5 = 2

Данная числовая последовательность состоит из 5 членов, поэтому ее можно назвать -- конечной числовой последовательностью.

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают ( $a_{n+1} > a_n$ ), и убывающей, если ее члены убывают ( $a_{n+1} > a_n$ ).

Например,

1, 3, 8 -- возрастающая последовательность

7, 5, 3, 1 -- убывающая последовательность

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.

Действия с последовательностями

Умножение на число

$a\left\{x_{n} \right\}=\left\{ax_{1} ,ax_{2} ...ax_{n} ,\right\}=\left\{ax_{n} \right\}$

Сложение и вычитание

$\left\{x_{n} \right\}\pm \left\{y_{n} \right\}=\left\{x_{1} \pm y_{1} ,x_{2} \pm y_{2} ...x_{n} \pm y_{n} ,\right\}=\left\{x_{n} \pm y_{n} \right\}$

Произведение

$\left\{x_{n} \right\}\cdot \left\{y_{n} \right\}=\left\{x_{1} \cdot y_{1} ,x_{2} \cdot y_{2} ...x_{n} \cdot y_{n} ,\right\}=\left\{x_{n} \cdot y_{n} \right\}$