Понятие числовой последовательности
Введем два определения числовой последовательности:
Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.
Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$
Числовая последовательность обозначается следующим образом:
${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$
где $p_1,p_2,…,p_k,…$ - действительные числа.
Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.
-
Аналитический.
В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.
-
Рекуррентный.
Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.
-
Словесный.
При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.
Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.
В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.
Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:
$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$
Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.
Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:
Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:
$p_k=p_1+(k-1)d$
Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле
$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $
У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:
$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. Каждое же последующее определяется как произведение предыдущего с наперед заданным конкретным не равным нулю числом $q$.
В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.
Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:
$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.
Отметим, что частным случаем геометрической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой знаменатель прогрессии равняется единице.
Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:
Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:
$p_k=p_1 q^{(k-1)}$
Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле
$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$
У геометрической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:
$p_k^2=p_{k-1} p_{k+1}$
Примеры задач
Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.
Решение.
Последовательность положительных четных чисел имеет вид
$2,4,6,8,10,…$
Она является арифметической.
Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется
$d=4-2=2$
Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:
$S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$
Ответ: $30$.
Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.
Решение.
Последовательность таких чисел имеет вид
$3,9,27,81,…$
Она является геометрической.
Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется
$q=\frac{9}{3}=3$
Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:
$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$
Ответ: $363$.
