Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

Понятие числовой последовательности

Введем два определения числовой последовательности:

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ - действительные числа.

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

• Аналитический.

  В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

• Рекуррентный.

  Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

• Словесный.

  При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1+(k-1)d$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2}$

У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

Геометрическая прогрессия

В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1 q^{(k-1)}$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$

У геометрической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k^2=p_{k-1} p_{k+1}$

Примеры задач