Системы показательных уравнений и неравенств

Решить систему уравнений

Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Рисунок 2.

Подставим $y$ во второе уравнение:

$$3^{x-2-2x}=9$$ $$3^{-2-x}=3^2$$ $$-2-x=2$$ $$x=-4$$ $$y=-2+8=6$$

Ответ: $(-4,6)$.

Решить систему уравнений

Рисунок 3.

Решение.

Данная система равносильна системе

Рисунок 4.

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:

Рисунок 5.

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

$$2u-v+v-u=-1+2$$ $$u=1$$

Тогда из второго уравнения, получим, что

$$v=2+u=3$$

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Рисунок 6.

Получаем:

Рисунок 7.

Ответ: $(0,1)$.

Решить систему неравенств

Рисунок 8.

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

Рисунок 9.

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^{f(x)} >a^{\varphi (x)}$, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\[a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{ $$\begin{array}{l} {a >1,} \\ {f(x) >\varphi (x);} \end{array}$$ \right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0Так как в нашем примере $a >1$, то наша система неравенств, по теореме 1, равносильна системе

Рисунок 10.

Изобразим оба решения на числовой прямой (рис. 11)

Рисунок 11. Решение примера 3 на числовой прямой

Ответ: $(3,+\infty )$