Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Системы показательных уравнений и неравенств

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

  1. Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается y через x, затем y подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная x. После этого мы легко можем вычислить переменную y.

  2. Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

  3. Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

  4. Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений



Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении y через x.



Рисунок 2.

Подставим y во второе уравнение:

3x22x=9
32x=32
2x=2
x=4
y=2+8=6

Ответ: (4,6).

Пример 2

Решить систему уравнений



Рисунок 3.

Решение.

Данная система равносильна системе



Рисунок 4.

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть 2x=u (u>0), а 3y=v (v>0), получим:



Рисунок 5.

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

2uv+vu=1+2
u=1

Тогда из второго уравнения, получим, что

v=2+u=3

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:



Рисунок 6.

Получаем:



Рисунок 7.

Ответ: (0,1).

«Системы показательных уравнений и неравенств» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Системы показательных неравенств

Определение 2

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Пример 3

Решить систему неравенств



Рисунок 8.

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе



Рисунок 9.

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство af(x)>aφ(x), где a>0,a1 равносильна совокупности двух систем

\[a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{
a>1,f(x)>φ(x);
\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0Так как в нашем примере a>1, то наша система неравенств, по теореме 1, равносильна системе



Рисунок 10.

Изобразим оба решения на числовой прямой (рис. 11)

Решение примера 3 на числовой прямой

Рисунок 11. Решение примера 3 на числовой прямой

Ответ: (3,+)

Дата последнего обновления статьи: 22.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Системы показательных уравнений и неравенств"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant