Показательные уравнения
Уравнение, в котором неизвестные и выражения с ними находятся в только показателях каких-то степеней называется показательным.
Решение показательных уравнений будем рассматривать на примерах.
Решить уравнение $3^{x-2} =3^{x^{2} -2} $.
Решение.
Для решения этого уравнения нам будет нужна теорема из теории равносильности. Напомним ее:
Теорема 1. Уравнение $a^{f(x)} =a^{g(x)} $, где $a >0,a\ne 1$, Б-равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Воспользовавшись этой теоремой, получим, что наше уравнение равносильно уравнению
\[x-2=x^2-2\] \[x^2-x=0\] \[x\left(x-1\right)=0\] \[x=0,\ x=1.\]Ответ: $0$ и $1$.
Решить уравнение $2^{2x}+4^{x+1}=10$
Решение:
Для решения данного примера нам будут необходимы свойства степеней. Напомним их:
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
$({a^n)}^m=a^{nm}$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$
$a^n >0,\ при\ a >0$
$a^m1,\ m
$a^m>a^n,\ при\ 0
$a^n0$
$a^n >b^n,\ при\ 0\le a\le b,\ n
Применяя свойство 1, получим:
\[2^{2x}+{4\cdot 4}^x=10\]Применяя свойство 4, получим:
\[2^{2x}+4\cdot {\left(2^2\right)}^x=10\] \[2^{2x}+4\cdot 2^{2x}=10\] \[5\cdot 2^{2x}=10\] \[2^{2x}=2\]Применяя теорему 1, получим:
\[2x=1\] \[x=\frac{1}{2}\]Ответ: $\frac{1}{2}$.
Решить уравнение ${16}^x-3\cdot 4^x+2=0$
Решение.
Данное уравнение равносильно уравнению $4^{2x}-3\cdot 4^x+2=0$
Произведем замену. Пусть $4^x=t\ (t >0)$
Получим уравнение:
\[t^2-3t+2=0\] \[t=1,\ t=2\]Вернемся к замене:
\[4^x=1\] \[x=0\ и\] \[4^x=2\] \[x=\frac{1}{2}\]Ответ: $0$ и $\frac{1}{2}$.
Показательные неравенства
Неравенство, в котором неизвестные и выражения с ними находятся в только показателях каких-то степеней называется показательным.
Решение показательных неравенств будем рассматривать на примерах.
Решить неравенство $3^{x^{2} -x} >3^{x} $
Решение.
Для решения этого неравенства нам потребуется следующая теорема равносильности:
Теорема 2. Неравенство $a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ Б-равносильно совокупности двух систем
\[a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {a >1,} \\ {f(x) >\varphi (x);} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0Так как в нашем примере $a >1$, то наше неравенство, по теореме 2, равносильно неравенству \[x^2-x >x\] \[x(x-1) >0\]\textbackslash $x\left(x-1\right)=0$
\[x=0\ и\ x=1\]Методом интервалов, получим
Ответ: $\left(-\infty ,0\right)(1,+\infty )$
Решить неравенство $\left(\frac{1}{2} \right)^{2x-1}
Так как в нашем примере $0 \[2x-1 >x^2\] \[x^2-2x+1Ответ: решений нет.
