Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод последовательных приближений

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Показательная функция / Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений
Содержание статьи

Одной из целей этого метода состоит в нахождении приближенных решений уравнений. Одним из таких методов является метод простой итерации.

Метод простой итерации

Метод простой итерации - один из самых простейших численных методов для решения уравнений.

Идея метода простой итерации.

Пусть нам необходимо решить уравнение $f\left(x\right)=0$.

Вначале для его решения приведем его к эквивалентному уравнению вида

Рассмотрим пример такого приведения:

Пример 1

Привести уравнение ${arcsin \left(2x+1\right)\ }-x^2=0$ к виду $x=\varphi (x)$.

Решение.

Здесь есть три способа такого преобразования:

  • 1 способ:

    \[{arcsin \left(2x+1\right)\ }=x^2\] \[sin({arcsin \left(2x+1\right)\ })=sin(x^2)\] \[2x+1=sinx^2\] \[x=\frac{sinx^2-1}{2}\]
  • 2 способ:

    \[{x=x+arcsin \left(2x+1\right)\ }-x^2\]
  • 3 способ:

    \[{arcsin \left(2x+1\right)\ }=x^2\] \[x=\sqrt{{arcsin \left(2x+1\right)\ }}\]

После этого каким-либо образом выбирается начальное приближение $x_0$, вычисляется значение $\varphi (x_0)$ и находится уточненное значение $x_1=\varphi (x_0)$. Следующее уточненное значение будет находиться как $x_2=\varphi (x_1)$ и т.д. Каждый такой шаг называется шагом итерации.

Готовые работы на аналогичную тему

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Теорема 1

Функция $\varphi (x)$ определена и дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и $\varphi (x)\in [a,b]$. Тогда, если \textbar ${\varphi }'\left(x\right)|

  1. Процесс итерации $x_n=\varphi (x_{n-1})$ сходится независимо от начального положения $x_0$;

  2. ${\mathop{lim}_{n\to \infty } x_n\ }=X$ -- единственный корень уравнения $x=\varphi (x)$ на отрезке $[a,b]$.

Доказательство.

  1. \item Так как $X=\varphi (x)$ и $x_n=\varphi (x_{n-1})$, то

    \[x_n-X=\varphi \left(x_{n-1}\right)-\varphi \left(x\right)=\left(\varphi \left(x_{n-1}\right)-\varphi \left(x\right)\right)\frac{x_{n-1}-x}{x_{n-1}-x}=\] \[=\frac{\varphi \left(x_{n-1}\right)-\varphi \left(x\right)}{x_{n-1}-x}\cdot x_{n-1}-x\]

    По теореме о среднем, получаем

    \[\frac{\varphi \left(x_{n-1}\right)-\varphi \left(x\right)}{x_{n-1}-x}=\varphi '(C)\]

    То есть

    \[x_n-X={\varphi }'\left(C\right)\cdot (x_{n-1}-x)\]

    Пусть $M=max |{\varphi }'\left(x\right)|$, тогда $|x_n-X|\le M|x_{n-1}-x|$. Также$|x_{n-1}-X|\le M|x_{n-2}-x|$. Но тогда получим

    \[\left|x_n-X\right|\le M\left|x_{n-1}-x\right|\le M^2\left|x_{n-2}-x\right|и\ т.д.\]

    То есть получим, что

    \[\left|x_n-X\right|\le M^n\left|x_0-x\right|\]

    Следовательно, для того чтобы метод сходился нужно, чтобы $M=max |{\varphi }'\left(x\right)|$ было меньше единицы, значит $\left|{\varphi }'\left(x\right)\right|

  2. Рассмотрим $x_n=\varphi (x_{n-1})$ и $x_{n+1}=\varphi (x_n)$.

    \[x_{n+1}-x_n=\varphi \left(x_n\right)-\varphi (x_{n-1})\]

    По теореме о среднем $x_{n+1}-x_n=f'\left(x_n\right)(x_n-x_{n-1})$.

    Так как $\left|{\varphi }'\left(x\right)\right|\le q

    Рассмотрим теперь $f\left(x\right)=x-\varphi \left(x\right)$, $f^{'\left(x\right)}=1-{\varphi }^{'\left(x\right)}\ge 1-q$. Значит, $\left|x_n-\varphi \left(x_n\right)\right|=\left|f\left(x_n\right)-f\left(X\right)\right|=\left|x_n-X\right|\left|f'\left(x_n\right)\right|\ge \left(1-q\right)|x_n-X|$. Следовательно, $|x_n-X|\le \frac{\left|x_n-\varphi \left(x_n\right)\right|}{1-q}\le \frac{|x_{n+1}-x_n|}{1-q}$.

    Из двух полученных неравенств, имеем

    \[|x_n-X|\le \frac{q}{1-q}|x_n-x_{n-1}|\]

    Пусть $|x_n-X|\le \varepsilon $, тогда $x_0,x_1,\dots ,x_n$ нужно вычислять до тех пор, пока не выполнится неравенство $|x_n-x_{n-1}|\le \frac{\varepsilon (1-q)}{q}$, тогда получим, что $X=x_n\pm \varepsilon $. Отсюда следует, что $X$ корень уравнения $x=\varphi (x)$, то есть $X=\varphi (X)$.

    Предположим, что это уравнение имеет еще один корень $X'=\varphi \left(X'\right)$. Отсюда $X'-X=\varphi \left(X'\right)-\varphi \left(X\right)$, тогда $\left(X'-X\right)\left|1-{\varphi }'\left(C\right)\right|=0$. Значит $X'=X$.

Теорема доказана.

Из теоремы будет вытекать погрешность метода простой итерации. Она определяется следующей формулой:

Также из нее можно выделить критерий окончания метода простой итерации. Он говорит, что процесс итерации необходимо продолжать до выполнения следующего неравенства:

Рассмотрим теперь на примере использование метода простой итерации.

Пример 2

Решить уравнение $sinx-x^2=0$ с точностью до $\varepsilon =0,001$.

Решение.

Вначале приведем уравнение к виду $x=\varphi (x)$.

\[sinx=x^2\] \[x=\frac{sinx}{x}\]

Очевидно, что корень уравнения находит на отрезке $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$.

Найдем $\varphi (x)$:

\[{\varphi }'\left(x\right)=\frac{xcosx-sinx}{x^2}\]

Она возрастает на отрезке $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$, следовательно принимает максимальное значение, при $x=\frac{\pi }{3}$. $\left|{\varphi }'\left(x\right)\right|\le \left|{\varphi }'\left(\frac{\pi }{3}\right)\right|\approx 0,312$.

Условие выполняется, $q \[|x_n-x_{n-1}|\le \varepsilon \]

Это неравенство выполнится на 5 шаге.

Приведем таблицу промежуточных решений, взяв за $x_0$ единицу:

Ответ: приближенное значение с заданной точностью -- $0,8765$.