Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифмические уравнения

Необходимые сведения для решения логарифмических уравнений

Вспомним, для начала, определения понятия логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a >0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Обозначение: ${{log}_a b\ }$.

Определение 2

Кравнение, в котором неизвестные и выражения с ними находятся под знаком логарифма (в основании или нет) называется логарифмическим.

Для решения логарифмических уравнений для начала вспомним свойства логарифмов.

Свойства логарифмов

  1. $a^{{{log}_a b\ }}=b$;

  2. ${{log}_a a^c\ }=c$.

  3. ${{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }$

  4. ${{log}_a b^c\ }=c{{log}_a b\ }$

  5. ${{log}_a \frac{1}{b}\ }=-{{log}_a b\ }$

  6. ${{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }$

  7. ${{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}$

  8. ${{log}_a b\ }=\frac{1}{{log}_ba}$

  9. ${{log}_{a^n} b\ }=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }$

Сразу из определения можно выделить области определения для логарифмов.

  1. Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_a x\ }$, то $x >0$.

  2. Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_x b\ }$, то $x >0$ и $x\ne 1$.

Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить уравнение ${{log}_3 x\ }=4$. Решение.

Для решения данного уравнения вспомним следующую теорему:

Теорема 1. Уравнение $\log _{a} f(x)=b,$ где $a >0,a\ne 1$. равносильно уравнению $f(x)=a^{b} $

По теореме 1, получим

\[x=3^4=81\]

Ответ: $81$.

Пример 2

Решить уравнение ${{log}_3 (x^2-4x)\ }={{log}_3 (x+4)\ }$.

Решение.

Для решения данного уравнения вспомним следующую теорему:

Теорема 2. Уравнение $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x),$ где $a>0,a\ne 1$ равносильно каждой из систем

$\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {f(x) >0} \end{array}\right. $ и $\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {g(x) >0.} \end{array}\right. $

По теореме 2, получим:

\[\left\{\begin{array}{I} {x^2-4x=x+4,} \\ {x+4 >0.} \end{array}\right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {x^2-3x-4=0,} \\ {x >-4.} \end{array}\right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} {x=1,} \\ {x=4,} \end{array} \right. \\ {x >-4.} \end{array} \right.\]

Ответ: $1$ и $4$.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Решить уравнение $5{({{log}_2 x\ })}^2-12{{log}_2 x\ }+4=0$

Решение.

Вначале найдем область определения данного уравнения.

Область определения: $x >0$.

Сделаем замену. Пусть ${{log}_2 x\ }=t$, тогда

\[{5t}^2-12t+4=0\] \[D=144-80=64=8^2\] \[t_1=\frac{12+8}{10}=2,\ t_1=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5}\]

Возвращаясь к замене, получим два уравнения:

  1. ${{log}_2 x\ }=2$

    По теореме 1, имеем

    \[x=2^2=4\]
  2. ${{log}_2 x\ }=\frac{2}{5}$

    По теореме 1, имеем

    \[x=2^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{4}\]

Ответ: $4$ и $\sqrt[5]{4}$.

Пример 4

Решить уравнение ${lg \left(x+4\right)\ }+{lg \left(2x+3\right)\ }=lg (1-2x)$

Решение.

Найдем для начала область определения:

\[\left\{ \begin{array}{c} {x+4 >0,} \\ {2x+3 >0}, \\ {1-2x >0.} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {x >-4,} \\ {x >-1,5,} \\ {xОбласть определения: $(-1,5;;0,5)$

Используя свойство логарифма произведения, получим

\[{lg (\left(x+4\right)\ }\left(2x+3\right))=lg (1-2x)\] \[{lg \left({2x}^2+11x+12\right)\ }=lg (1-2x)\]

По теореме 2, получим

\[{2x}^2+11x+12=1-2x\] \[{2x}^2+13x+11=0\] \[D=169-88=81=9^2\] \[x_1=\frac{-13-9}{4}=-5,5,\ \ x_2=\frac{-13+9}{4}=-1\]

Учитывая область определения, получим, что $x_1=-5,5$ -- посторонний корень.

Ответ: $-1$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис