Необходимые сведения для решения логарифмических уравнений
Вспомним, для начала, определения понятия логарифм.
Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a >0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.
Обозначение: ${{log}_a b\ }$.
Кравнение, в котором неизвестные и выражения с ними находятся под знаком логарифма (в основании или нет) называется логарифмическим.
Для решения логарифмических уравнений для начала вспомним свойства логарифмов.
Свойства логарифмов
$a^{{{log}_a b\ }}=b$;
${{log}_a a^c\ }=c$.
${{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }$
${{log}_a b^c\ }=c{{log}_a b\ }$
${{log}_a \frac{1}{b}\ }=-{{log}_a b\ }$
${{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }$
${{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}$
${{log}_a b\ }=\frac{1}{{log}_ba}$
${{log}_{a^n} b\ }=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }$
Сразу из определения можно выделить области определения для логарифмов.
Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_a x\ }$, то $x >0$.
Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_x b\ }$, то $x >0$ и $x\ne 1$.
Решение логарифмических уравнений
Решение логарифмических уравнений будем рассматривать на примерах.
Решить уравнение ${{log}_3 x\ }=4$. Решение.
Для решения данного уравнения вспомним следующую теорему:
Теорема 1. Уравнение $\log _{a} f(x)=b,$ где $a >0,a\ne 1$. равносильно уравнению $f(x)=a^{b} $
По теореме 1, получим
\[x=3^4=81\]Ответ: $81$.
Решить уравнение ${{log}_3 (x^2-4x)\ }={{log}_3 (x+4)\ }$.
Решение.
Для решения данного уравнения вспомним следующую теорему:
Теорема 2. Уравнение $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x),$ где $a>0,a\ne 1$ равносильно каждой из систем
$\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {f(x) >0} \end{array}\right. $ и $\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {g(x) >0.} \end{array}\right. $
По теореме 2, получим:
\[\left\{\begin{array}{I} {x^2-4x=x+4,} \\ {x+4 >0.} \end{array}\right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {x^2-3x-4=0,} \\ {x >-4.} \end{array}\right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} {x=1,} \\ {x=4,} \end{array} \right. \\ {x >-4.} \end{array} \right.\]Ответ: $1$ и $4$.
Решить уравнение $5{({{log}_2 x\ })}^2-12{{log}_2 x\ }+4=0$
Решение.
Вначале найдем область определения данного уравнения.
Область определения: $x >0$.
Сделаем замену. Пусть ${{log}_2 x\ }=t$, тогда
\[{5t}^2-12t+4=0\] \[D=144-80=64=8^2\] \[t_1=\frac{12+8}{10}=2,\ t_1=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5}\]Возвращаясь к замене, получим два уравнения:
${{log}_2 x\ }=2$
По теореме 1, имеем
\[x=2^2=4\]${{log}_2 x\ }=\frac{2}{5}$
По теореме 1, имеем
\[x=2^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{4}\]
Ответ: $4$ и $\sqrt[5]{4}$.
Решить уравнение ${lg \left(x+4\right)\ }+{lg \left(2x+3\right)\ }=lg (1-2x)$
Решение.
Найдем для начала область определения:
\[\left\{ \begin{array}{c} {x+4 >0,} \\ {2x+3 >0}, \\ {1-2x >0.} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {x >-4,} \\ {x >-1,5,} \\ {xОбласть определения: $(-1,5;;0,5)$Используя свойство логарифма произведения, получим
\[{lg (\left(x+4\right)\ }\left(2x+3\right))=lg (1-2x)\] \[{lg \left({2x}^2+11x+12\right)\ }=lg (1-2x)\]По теореме 2, получим
\[{2x}^2+11x+12=1-2x\] \[{2x}^2+13x+11=0\] \[D=169-88=81=9^2\] \[x_1=\frac{-13-9}{4}=-5,5,\ \ x_2=\frac{-13+9}{4}=-1\]Учитывая область определения, получим, что $x_1=-5,5$ -- посторонний корень.
Ответ: $-1$.
