Логарифмические уравнения

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Необходимые сведения для решения логарифмических уравнений

Вспомним, для начала, определения понятия логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ( $a >0,\ a\ne 1$ ) называется число $c$ , в которое нужно возвести число $a$ , чтобы получить число $b$ .

Обозначение: ${{log}_a b\ }$ .

Определение 2

Кравнение, в котором неизвестные и выражения с ними находятся под знаком логарифма (в основании или нет) называется логарифмическим.

Для решения логарифмических уравнений для начала вспомним свойства логарифмов.

Свойства логарифмов

$a^{{{log}_a b\ }}=b$ ;
${{log}_a a^c\ }=c$ .
${{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }$
${{log}_a b^c\ }=c{{log}_a b\ }$
${{log}_a \frac{1}{b}\ }=-{{log}_a b\ }$
${{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }$
${{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}$
${{log}_a b\ }=\frac{1}{{log}_ba}$
${{log}_{a^n} b\ }=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }$

Сразу из определения можно выделить области определения для логарифмов.

Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_a x\ }$ , то $x >0$ .
Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_x b\ }$ , то $x >0$ и $x\ne 1$ .

Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить уравнение ${{log}_3 x\ }=4$ . Решение.

Для решения данного уравнения вспомним следующую теорему:

Теорема 1. Уравнение $\log _{a} f(x)=b,$ где $a >0,a\ne 1$ . равносильно уравнению $f(x)=a^{b}$

По теореме 1, получим

$x=3^4=81$

Ответ: $81$ .

Пример 2

Решить уравнение ${{log}_3 (x^2-4x)\ }={{log}_3 (x+4)\ }$ .

Решение.

Для решения данного уравнения вспомним следующую теорему:

Теорема 2. Уравнение $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x),$ где $a>0,a\ne 1$ равносильно каждой из систем

$\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {f(x) >0} \end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {g(x) >0.} \end{array}\right.$

По теореме 2, получим:

$\left\{\begin{array}{I} {x^2-4x=x+4,} \\ {x+4 >0.} \end{array}\right.$

$\left\{ \begin{array}{c} {x^2-3x-4=0,} \\ {x >-4.} \end{array}\right.$

$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} {x=1,} \\ {x=4,} \end{array} \right. \\ {x >-4.} \end{array} \right.$

Ответ: $1$ и $4$ .

«Логарифмические уравнения» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 3

Решить уравнение $5{({{log}_2 x\ })}^2-12{{log}_2 x\ }+4=0$

Решение.

Вначале найдем область определения данного уравнения.

Область определения: $x >0$ .

Сделаем замену. Пусть ${{log}_2 x\ }=t$ , тогда

${5t}^2-12t+4=0$

$D=144-80=64=8^2$

$t_1=\frac{12+8}{10}=2,\ t_1=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5}$

Возвращаясь к замене, получим два уравнения:

${{log}_2 x\ }=2$

По теореме 1, имеем

$x=2^2=4$
${{log}_2 x\ }=\frac{2}{5}$

По теореме 1, имеем

$x=2^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{4}$

Ответ: $4$ и $\sqrt[5]{4}$ .

Пример 4

Решить уравнение ${lg \left(x+4\right)\ }+{lg \left(2x+3\right)\ }=lg (1-2x)$

Решение.

Найдем для начала область определения:

$\left\{ \begin{array}{c} {x+4 >0,} \\ {2x+3 >0}, \\ {1-2x >0.} \end{array} \right.$ \[\left\{ \begin{array}{c} {x >-4,} \\ {x >-1,5,} \\ {xОбласть определения:

$(-1,5;;0,5)$

Используя свойство логарифма произведения, получим