Показательная функция

Введем сначала определение показательной функции.

Далее будем рассматривать два отдельных случая: когда $01$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$.

Введем свойства показательной функции, при $a >1$.

1. Область определения -- все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.

3. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

4. Область значения -- интервал $(0,+\infty )$.

5. $f'(x)=\left(a^x\right)'=a^xlna$

   $$a^xlna=0$$ $$корней\ нет.$$ $$f'\left(x\right) >0$$

   Функция возрастает на всей области определения.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$.

8. $f''\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}'=a^x{ln}^2a$

   $$a^x{ln}^2a=0$$ $$корней\ нет.$$ $$f''\left(x\right) >0$$

   Функция выпукла на всей области определения.

9. Поведение на концах области определения:

   $${\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0$$ $${\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty$$

10. График (рис. 1).

График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.">

Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Введем свойства показательной функции, при $0

1. Область определения -- все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.

3. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

4. Область значения -- интервал $(0,+\infty )$.

5. $f'(x)=\left(a^x\right)'=a^xlna$

   $$a^xlna=0$$ $$корней\ нет.$$ \[f'\left(x\right)Функция убывает на всей области определения.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,1)$.

8. $f''\left(x\right)={\left(a^x{ln}^2a\right)}'=a^x{ln}^3a$

   $$a^x{ln}^3a=0$$ $$корней\ нет.$$ $$f''\left(x\right)>0$$

   Функция выпукла на всей области определения.

9. Поведение на концах области определения:

   $${\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty$$ $${\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0$$

10. График (рис. 2).

Пример задачи на построение показательной функции

Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$.

Решение.

Проведем исследование по примеру схемы выше:

1. Область определения -- все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна.

3. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

4. Область значения -- интервал $(3,+\infty )$.

5. $f'\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}'=2^xln2>0$

   Функция возрастает на всей области определения.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$

8. $f''\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}'=2^x{ln}^22>0$

   Функция выпукла на всей области определения.

9. Поведение на концах области определения:

   $${\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0$$ $${\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty$$

10. График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$