Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Подобные треугольники
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Признак подобия прямоугольных треугольников

Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.

Признак подобия прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).

Подобные <a href= прямоугольные треугольники">

Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники

Доказательство.

Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$ . Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$ . Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.

Теорема доказана.

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике

Теорема 2

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Проведем высоту $CD$ (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.

Так как $\angle ADC={90}^0$ , то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.
Так как $\angle BDC={90}^0$ , то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.
Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$

$\angle A={90}^0-\angle ACD$
$\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A$
Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

«Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Определение 1

Отрезок $x$ называется средним пропорциональным или средним геометрическим дл отрезков $a$ и $b$ , если выполняется следующее равенство

$x=\sqrt{ab}$

Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Примеры задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ относятся как $2:3$ , а гипотенуза равна $39$ см. Найти отрезки, на которые высота $CD$ делит гипотенузу данного треугольника.