Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ - это функция, которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:
\[F'(x)=f(x).\]Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Из таблицы производных и определения 2 получаем таблицу основных интегралов.
Таблица интегралов
Таблица производных не содержит формул, которые соответствуют формулам 7, 8, 11', 12, 13' и 14 из таблицы интегралов. Справедливость данных формул можно проверить путем дифференцирования.
Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]Решение:
Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)'=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx\]Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]Решение:
Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)'=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx\]Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Проверить справедливость формулы 11' из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]Решение:
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.
\[\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)'=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} } \]Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.\]Решение:
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.
$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)'=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)'=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} } $Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Проверить справедливость формулы 13' из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]Решение:
Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.
\[\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \]Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.\]Решение:
Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)'=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)'=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \]Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 7.
Найти интеграл:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]Решение:
Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]По таблице интегралов:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .\]Следовательно,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2} \]
