Таблица интегралов

Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:

$$\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.$$

Решение:

Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.

$$\left(-\ln |\cos x|+C\right)'=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx$$

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:

$$\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.$$

Решение:

Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.

$$\left(\ln |\sin x|\right)'=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx$$

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Проверить справедливость формулы 11' из таблицы интегралов:

$$\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.$$

Решение:

Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.

$$\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)'=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} }$$

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:

$$\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.$$

Решение:

Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.

$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)'=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)'=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} }$Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Проверить справедливость формулы 13' из таблицы интегралов:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.$$

Решение:

Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.

$$\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } }$$

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.$$

Решение:

Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.

$$\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)'=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)'=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=$$ $$=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } }$$

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 7.

Найти интеграл:

$$\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.$$

Решение:

Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:

$$\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .$$

Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:

$$\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .$$

По таблице интегралов:

$$\int \cos x dx=\sin x+C;$$ $$\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.$$

При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:

$$\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .$$

Следовательно,

$$\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2}$$