Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{dx}{\sin x} .\]

Решение:

Сделаем подстановку $tg\frac{x}{2} =t$ (см. выше) и получим:

\[\int \frac{dx}{\sin x} =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2} } }{\frac{2t}{1+t^{2} } } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C.\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{dx}{\sin x} =\ln |tg\frac{x}{2} |+C.\]

Универсальная подстановка дает возможность вычислить любой интеграл вида $\int R(\sin x,\cos x)dx $. Но на практике данная подстановка зачастую приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому иногда целесообразнее использовать другие подстановки.

Интеграл вида $\int R(\sin x)\cos xdx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующей подстановки:

\[\sin x=t,\cos xdx=dt.\]

Интеграл вида $\int R(\cos x)\sin xdx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующей подстановки:

\[\cos x=t,\sin xdx=-dt.\]

Интеграл вида $\int R(tgx)dx $ можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующей подстановки:

\[tgx=t,x=arctgt,dx=\frac{dt}{1+t^{2} } .\]

Интеграл вида $\int R(\sin x,\cos x)dx $, где функции $\sin x,\cos x$ в четных степенях, можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью «универсальной тригонометрической подстановки»:

\[tgx=t,x=arctgt,dx=\frac{dt}{1+t^{2} } ,\] \[\sin ^{2} x=\frac{tg^{2} x}{1+tg^{2} x} =\frac{t^{2} }{1+t^{2} } , \cos ^{2} x=\frac{1}{1+tg^{2} x} =\frac{1}{1+t^{2} } .\]

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx .\]

Решение:

\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx =\int \frac{1}{2+\cos x} \cdot \sin xdx \]

Сделаем подстановку $\cos x=t,\sin xdx=-dt$ (см. выше) и получим:

\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx =\int \frac{-dt}{2+t} =-\int \frac{dt}{2+t} =-\int \frac{d(2+t)}{2+t} =-\ln |2+t|+C\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{\sin x}{2+\cos x} dx =-\ln |2+\cos x|+C.\]

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{dx}{2-\sin ^{2} x} .\]

Решение:

Сделаем подстановку $tgx=t,dx=\frac{dt}{1+t^{2} } $ (см. выше) и получим:

\[\int \frac{dx}{2-\sin ^{2} x} =\int \frac{dt}{\left(2-\frac{t^{2} }{1+t^{2} } \right)\cdot (1+t^{2} )} =\int \frac{dt}{2+t^{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{t}{\sqrt{2} } +C.\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{dx}{2-\sin ^{2} x} =\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{tgx}{\sqrt{2} } +C.\]

Для вычисления интегралов вида $\int \sin ^{m} x\cos ^{n} xdx $ ($m,n$ - целые числа) используются следующие подстановки:

1 случай (одна из степеней является нечетным числом):

Пусть $n$ - нечетное число. Положив $n=2p+1$, преобразуем исходный интеграл:

\[\int \sin ^{m} x\cos ^{2p+1} xdx =\int \sin ^{m} x\cos ^{2p} x\cos xdx =\int \sin ^{m} x(1-\sin ^{2} )^{p} x\cos xdx .\]

Сделаем подстановку $\sin x=t,\cos xdx=dt$ и получим:

\[\int \sin ^{m} x\cos ^{n} xdx =\int t^{m} (1-t^{2} )^{p} dt .\]

2 случай (степени четные и неотрицательные):

Положив $m=2p,n=2q$, преобразуем исходный интеграл:

\[\int \sin ^{2p} x\cos ^{2q} xdx =\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2} \right)^{p} \left(\frac{1+\cos 2x}{2} \right)^{q} dx .\]

3 случай (степени четные и хотя бы одна отрицательная):

Интеграл можно свести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) с помощью следующих подстановок: $tgx=t\, $ или $ctgx=t$.

Для вычисления интегралов вида $\int \cos mx\cos nxdx ,\int \sin mx\cos nxdx ,\int \sin mx\sin nxdx $ используются следующие тригонометрические формулы:

\[\begin{array}{l} {\cos mx\cos nx=\frac{1}{2} \cdot \left(\cos (m+n)x+\cos (m-n)x\right),} \\ {\sin mx\cos nx=\frac{1}{2} \cdot \left(\sin (m+n)x+\sin (m-n)x\right),} \\ {\sin mx\sin nx=\frac{1}{2} \cdot \left(-\cos (m+n)x+\cos (m-n)x\right).} \end{array}\]

Выполнить интегрирование:

\[\int \sin 3x\sin xdx .\]

Решение:

По формуле получим:

\[\sin 3x\sin x=\frac{1}{2} \cdot \left(-\cos 4x+\cos 2x\right).\]

Подставим в интеграл и получим:

\[\begin{array}{l} {\int \sin 3x\sin xdx =\frac{1}{2} \cdot \int \left(-\cos 4x+\cos 2x\right)dx =\frac{1}{2} \cdot \left(-\int \cos 4xdx +\int \cos 2xdx \right)=} \\ {=\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4} \int \cos 4xd(4x) +\frac{1}{2} \int \cos 2xd(2x) \right)=\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sin 4x}{4} +\frac{\sin 2x}{2} \right)+C=\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\sin 4x}{2} +\sin 2x\right)+C} \end{array}\]

Интеграл вида $\int R(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} )dx $ ($a\ne 0,c-\frac{b^{2} }{4a} \ne 0$) можно привести к интегралу от рациональной функции ($\int R(t)dt $) также с помощью тригонометрической подстановки. Однако сначала он приводится к одному из следующих видов:

• $\int R(t,\sqrt{m^{2} t^{2} +n^{2} } )dt $;

• $\int R(t,\sqrt{m^{2} t^{2} -n^{2} } )dt $;

• $\int R(t,\sqrt{n^{2} -m^{2} t^{2} } )dt $.

После чего первый интеграл вычисляется с использованием подстановки $t=\frac{n}{m} tgz$, второй - $t=\frac{n}{m} \sec z$, третий - $t=\frac{n}{m} \sin z$.

Выполнить интегрирование:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{(a^{2} -x^{2} )^{3} } } .\]

Решение:

Сделаем подстановку $x=a\sin z,dx=a\cos zdz$ и получим:

\[\begin{array}{l} {\int \frac{dx}{\sqrt{(a^{2} -x^{2} )^{3} } } =\int \frac{a\cos zdz}{\sqrt{(a^{2} -a^{2} \sin ^{2} z)^{3} } } = \int \frac{a\cos zdz}{a^{3} \cos ^{3} z} = \frac{1}{a^{2} } \int \frac{dz}{\cos ^{2} z} =\frac{1}{a^{2} } \cdot tgz+C=\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{\sin z}{\cos z} +C=} \\ {=\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{\sin z}{\sqrt{1-\sin ^{2} z} } +C} \end{array}\]

Сделав обратную замену, получим окончательный результат:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{(a^{2} -x^{2} )^{3} } } =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{x}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } +C.\]