Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Определение 2 можно записать следующим образом:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]Интегрирование функции $y=f(x)$ -- это операция нахождения первообразной от заданной функции $y=f(x)$ (неопределенного интеграла заданной функции $y=f(x)$).
Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Однако большинство таких интегралов с помощью подстановок можно привести к интегралам от рациональных функций, которые можно выразить интеграл через элементарные функции.
Далее будут рассмотрены несколько видов интегралов от иррациональной функции, приводящиеся с помощью подстановок к интегралам от рациональных функций:
-
$\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $;
-
$\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $;
-
$\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $.
I
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:
где $k$ - общий знаменатель дробей $\frac{m}{n} ,...,\frac{r}{s} $.
При данной подстановке каждая дробная степень переменной $x$ выражается через целую степень переменной $t$. В результате чего подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} .\]Решение:
$k=4$ - общий знаменатель дробей $\frac{1}{2} ,\, \, \frac{3}{4} $.
Сделаем следующую подстановку:
\[x=t^{4} ,\, \, \, dx=4t^{3} dt.\] \[\begin{array}{l} {\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} \cdot t^{3} dt =4\int \frac{t^{5} }{t^{3} +1} dt =4\int \left(t^{2} -\frac{t^{2} }{t^{3} +1} \right)dt =4\int t^{2} dt -4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} dt =\frac{4}{3} \cdot t^{3} -} \\ {-\frac{4}{3} \cdot \ln |t^{3} +1|+C} \end{array}\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =\frac{4}{3} \cdot \left[x^{3/4} -\ln |x^{3/4} +1|\right]+C\]II
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:
где $k$ - общий знаменатель дробей $\frac{m}{n} ,...,\frac{r}{s} $.
В результате данной подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx .\]Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\[x+4=t^{2} ,\, \, x=t^{2} -4,\, \, dx=2tdt.\] \[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =\int \frac{t^{2} }{t^{2} -4} dt =2\int \left(1+\frac{4}{t^{2} -4} \right)dt =2\int dt +8\int \frac{dt}{t^{2} -4} =2t+2\ln \left|\frac{t-2}{t+2} \right|+C\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =2\sqrt{x+4} +2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4} -2}{\sqrt{x+4} +2} \right|+C.\]III
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $ выполняется так называемая подстановка Эйлера (используется одна из трех возможных подстановок).
Первая подстановка Эйлера
Для случая $a>0$ необходимо выполнить следующую подстановку:
Взяв перед $\sqrt{a} $ знак «+», получим
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } .\]Решение:
Сделаем следующую подстановку (случай $a=1>0$):
\[\sqrt{x^{2} +c} =-x+t,\, \, x=\frac{t^{2} -c}{2t} ,\, \, dx=\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt,\, \, \sqrt{x^{2} +c} =-\frac{t^{2} -c}{2t} +t=\frac{t^{2} +c}{2t} .\] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\int \frac{\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt}{\frac{t^{2} +c}{2t} } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\ln |\sqrt{x^{2} +c} +x|+C.\]Вторая подстановка Эйлера
Для случая $c>0$ необходимо выполнить следующую подстановку:
Взяв перед $\sqrt{c} $ знак «+», получим
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} } )^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx .\]Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1.\]Отсюда
\[1+x+x^{2} =x^{2} t^{2} +2xt+1,\, \, x=\frac{2t-1}{1-t^{2} } ,\, \, dx=\frac{2t^{2} -2t+2}{(1-t^{2} )^{2} } dt\] \[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1=\frac{t^{2} -t+1}{1-t^{2} } \] \[1-\sqrt{1+x+x^{2} } =\frac{-2t^{2} +t}{1-t^{2} } \]$\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} } )^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =\int \frac{(-2t^{2} +t)^{2} (1-t)^{2} (1-t^{2} )(2t^{2} -2t+2)}{(1-t^{2} )^{2} (2t-1)^{2} (t^{2} -t+1)(1-t^{2} )^{2} } dt =\int \frac{t^{2} }{1-t^{2} } dt =-2t+\ln \left|\frac{1+t}{1-t} \right|+C$Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\begin{array}{l} {\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} } )^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +\ln \left|\frac{x+\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x-\sqrt{1+x+x^{2} } +1} \right|+C=-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +} \\ {+\ln \left|2x+2\sqrt{1+x+x^{2} } +1\right|+C} \end{array}\]Третья подстановка Эйлера
Пусть числа $\alpha ,\beta $ являются действительными корнями трехчлена $ax^{2} +bx+c$.
В данном случае необходимо выполнить следующую подстановку:
Так как
получаем
Следовательно,
Третью подстановку Эйлера можно применять не только при $a0$. Необходимым условием для этого является наличие двух действительных корней многочлена $ax^{2} +bx+c$.
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +3x-4} } .\]Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\[\sqrt{(x+4)(x-1)} =(x+4)\cdot t.\]Отсюда
\[(x+4)(x-1)=(x+4)^{2} t^{2} ,\, \, \, x-1=(x+4)\cdot t^{2} \] \[x=\frac{1+4t^{2} }{1-t^{2} } ,\, \, dx=\frac{10t}{(1-t^{2} )^{2} } dt\] \[\sqrt{(x+4)(x-1)} =\left(\frac{1+4t^{2} }{1-t^{2} } +4\right)\cdot t=\frac{5t}{1-t^{2} } \] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +3x-4} } =\int \frac{10t\cdot (1-t^{2} )}{(1-t^{2} )^{2} 5t} dt =\int \frac{2}{1-t^{2} } dt =\ln \left|\frac{1+t}{1-t} \right|+C\]Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +3x-4} } =\ln \left|\frac{1+\sqrt{\frac{x-1}{x+4} } }{1-\sqrt{\frac{x-1}{x+4} } } \right|+C=\ln \left|\frac{\sqrt{x+4} +\sqrt{x-1} }{\sqrt{x+4} -\sqrt{x-1} } \right|+C.\]
