Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ параллельно заданной плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$.
Условие параллельности двух плоскостей $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$ имеет вид $\frac{A_{1} }{A_{2} } =\frac{B_{1} }{B_{2} } =\frac{C_{1} }{C_{2} } $.
В соответствии с этим условием (приняв отношение коэффициентов равным единице) уравнение искомой плоскости можно записать в виде $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D_{1} =0$.
Координаты заданной точки должны удовлетворять этому уравнению: $A\cdot x_{1} +B\cdot y_{1} +C\cdot z_{1} +D_{1} =0$. Отсюда получаем: $D_{1} =-A\cdot x_{1} -B\cdot y_{1} -C\cdot z_{1} $.
Окончательно имеем уравнение искомой плоскости:
$A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z-A\cdot x_{1} -B\cdot y_{1} -C\cdot z_{1} =0$ или
\[A\cdot \left(x-x_{1} \right)+B\cdot \left(y-y_{1} \right)+C\cdot \left(z-z_{1} \right)=0.\]Найти уравнение плоскости, которая проходит параллельно заданной плоскости $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z-3=0$ на расстоянии $d=5$ от неё.
Учитывая условие параллельности двух плоскостей $\frac{A_{1} }{A_{2} } =\frac{B_{1} }{B_{2} } =\frac{C_{1} }{C_{2} } $ и приняв отношение коэффициентов равным единице, уравнение искомой плоскости можем записать в виде $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z+D=0$.
Запишем расстояние между заданной и искомой плоскостями. Для этого на данной плоскости $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z-3=0$ выберем произвольную точку $M$. Положим $x=0$, $y=0$ и найдем $z=\frac{3}{4} $. Таким образом, получаем точку $M\left(0;\; 0;\; \frac{3}{4} \right)$.
Теперь воспользуемся формулой для вычисления расстояния от некоторой точки $M_{0} \left(x_{0} ;\; y_{0} ;\; z_{0} \right)$ до плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$: $d=\frac{\left|A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } } $.
Получаем: $d=\frac{\left|4\cdot 0+2\cdot 0+4\cdot \frac{3}{4} +D\right|}{\sqrt{4^{2} +2^{2} +4^{2} } } =\frac{\left|3+D\right|}{6} $.
Так как $d=5$, то для определения $D$ получаем следующее уравнение:
\[\frac{\left|3+D\right|}{6} =5; \left|3+D\right|=30; 3+D=\pm 30.\]Отсюда имеем два значения: $D_{1} =-33$, $D_{2} =27$.
Для найденных значений $D$ получаем две искомые плоскости:
$4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z-33=0$ и $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z+27=0$.
Вершины $M$, $N$, $K$ при основании треугольной пирамиды образованы пересечением плоскости основания пирамиды, общее уравнение которой $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-600=0$, с координатными осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Ещё одна вершина пирамиды находится в точке $L\left(a,b,c\right)$, где $a=150$, $b=80$ и $c=60$. Пирамиду пересекает плоскость $P$, общее уравнение которой $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-1750=0$. Найти сечение пирамиды этой плоскостью.
Находим координаты вершин $M$, $N$, $K$ при основании пирамиды. Пусть эти вершины отсекают на координатных осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ отрезки $m$, $n$ и $k$ соответственно.
Координаты вершин $M\left(m,0,0\right)$, $N\left(0,n,0\right)$ и $K\left(0,0,k\right)$ подставляем в уравнение основания пирамиди $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-600=0$ и получаем $m=50$, $n=60$ и $k=120$.
Пусть некоторая прямая проходит через точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ параллельно вектору $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$. Тогда три уравнения $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$, в которых $t$ -- параметр, представляют собой параметрические уравнения этой прямой.
Чтобы найти параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$, следует сначала построить вектор $\overline{M_{1} M_{2} }=\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot \bar{i}+\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot \bar{j}+\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot \bar{k}$, а затем записать параметрические уравнения, а именно: $x=x_{1} +\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot t$, $y=y_{1} +\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot t$, $z=z_{1} +\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot t$.
Ребро $ML$ проходит через точки $M\left(50,0,0\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$. Записываем параметрические уравнения ребра $ML$:
\[x=50+\left(150-50\right)\cdot t, y=0+\left(80-0\right)\cdot t, z=0+\left(60-0\right)\cdot t\]или окончательно $x=50+100\cdot t$, $y=80\cdot t$, $z=60\cdot t$.
Чтобы найти координаты точки пересечения $T\left(x,y,z\right)$ плоскости, общее уравнение которой $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, и прямой с параметрическими уравнениями $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$, нужно:
- подставить параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости $A\cdot \left(x_{0} +m\cdot t\right)+B\cdot \left(y_{0} +n\cdot t\right)+C\cdot \left(z_{0} +p\cdot t\right)+D=0$;
- из полученного выражения найти параметр $t$;
- значение параметра $t$ подставить в параметрические уравнения прямой и вычислить координаты $x$, $y$ и $z$ точки пересечения $T\left(x,y,z\right)$.
Находим точку пересечения ребра пирамиды $ML$ с плоскостью $P$.
Для этого подставляем параметрические уравнения ребра в общее уравнение плоскости:
\[12\cdot \left(50+100\cdot t\right)+10\cdot 80\cdot t+5\cdot 60\cdot t-1750=0.\]Из этого выражения находим параметр $t$:
\[600+1200\cdot t+800\cdot t+300\cdot t-1750=0; 2300\cdot t-1150=0; t=0,5.\]Значение параметра $t$ подставляем в параметрические уравнения ребра $ML$ в вычисляем координаты точки пересечения $M_{1} \left(x,y,z\right)$:
\[x=50+100\cdot 0,5=100; y=80\cdot 0,5=40; z=60\cdot 0,5=30.\]Следовательно, координаты точки пересечения: $M_{1} \left(100,40,30\right)$.
Ребро $NL$ проходит через точки $N\left(0,60,0\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$. Параметрические уравнения ребра $NL$:
\[x=0+\left(150-0\right)\cdot t, y=60+\left(80-60\right)\cdot t, z=0+\left(60-0\right)\cdot t\]или окончательно $x=150\cdot t$, $y=60+20\cdot t$, $z=60\cdot t$.
Находим точку пересечения ребра пирамиды $NL$ с плоскостью $P$.
Для этого подставляем параметрические уравнения ребра в общее уравнение плоскости:
\[12\cdot 150\cdot t+10\cdot \left(60+20\cdot t\right)+5\cdot 60\cdot t-1750=0.\]Из полученного выражения находим параметр $t$:
\[1800\cdot t+600+200\cdot t+300\cdot t-1750=0; 2300\cdot t-1150=0; t=0,5.\]Значение параметра $t$ подставляем в параметрические уравнения ребра $NL$ и вычисляем координаты точки пересечения $N_{1} \left(x,y,z\right)$:
\[x=150\cdot 0,5=75; y=60+20\cdot 0,5=70; z=60\cdot 0,5=30.\]Следовательно, координаты точки пересечения: $N_{1} \left(75,70,30\right)$.
Ребро $KL$ проходит через точки $K\left(0,0,120\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$. Параметрические уравнения ребра $KL$:
\[x=0+\left(150-0\right)\cdot t, y=0+\left(80-0\right)\cdot t, z=120+\left(60-120\right)\cdot t\]или окончательно $x=150\cdot t$, $y=80\cdot t$, $z=120-60\cdot t$.
Находим точку пересечения ребра пирамиды $KL$ с плоскостью $P$.
Для этого подставляем параметрические уравнения ребра в общее уравнение плоскости:
\[12\cdot 150\cdot t+10\cdot 80\cdot t+5\cdot \left(120-60\cdot t\right)-1750=0.\]Из полученного выражения находим параметр $t$:
\[1800\cdot t+800\cdot t+600-300\cdot t-1750=0; 2300\cdot t-1150=0; t=0,5.\]Значение параметра $t$ подставляем в параметрические уравнения ребра $KL$ и вычисляем координаты точки пересечения $K_{1} \left(x,y,z\right)$:
\[x=150\cdot 0,5=75; y=80\cdot 0,5=40; z=120-60\cdot 0,5=90.\]Следовательно, координаты точки пересечения: $K_{1} \left(75,40,90\right)$.
Вывод: сечение пирамиды плоскостью $P$ представляет собой пространственный треугольник $M_{1} N_{1} K_{1} $ с вершинами, координаты которых $M_{1} \left(100,40,30\right)$, $N_{1} \left(75,70,30\right)$ и $K_{1} \left(75,40,90\right)$.
