Параллельность плоскостей

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Задача 1

Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ параллельно заданной плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ .

Условие параллельности двух плоскостей $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$ имеет вид $\frac{A_{1} }{A_{2} } =\frac{B_{1} }{B_{2} } =\frac{C_{1} }{C_{2} }$ .

В соответствии с этим условием (приняв отношение коэффициентов равным единице) уравнение искомой плоскости можно записать в виде $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D_{1} =0$ .

Координаты заданной точки должны удовлетворять этому уравнению: $A\cdot x_{1} +B\cdot y_{1} +C\cdot z_{1} +D_{1} =0$ . Отсюда получаем: $D_{1} =-A\cdot x_{1} -B\cdot y_{1} -C\cdot z_{1}$ .

Окончательно имеем уравнение искомой плоскости:

$A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z-A\cdot x_{1} -B\cdot y_{1} -C\cdot z_{1} =0$ или

$A\cdot \left(x-x_{1} \right)+B\cdot \left(y-y_{1} \right)+C\cdot \left(z-z_{1} \right)=0.$

Задача 2

Найти уравнение плоскости, которая проходит параллельно заданной плоскости $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z-3=0$ на расстоянии $d=5$ от неё.

Учитывая условие параллельности двух плоскостей $\frac{A_{1} }{A_{2} } =\frac{B_{1} }{B_{2} } =\frac{C_{1} }{C_{2} }$ и приняв отношение коэффициентов равным единице, уравнение искомой плоскости можем записать в виде $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z+D=0$ .

Запишем расстояние между заданной и искомой плоскостями. Для этого на данной плоскости $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z-3=0$ выберем произвольную точку $M$ . Положим $x=0$ , $y=0$ и найдем $z=\frac{3}{4}$ . Таким образом, получаем точку $M\left(0;\; 0;\; \frac{3}{4} \right)$ .

Теперь воспользуемся формулой для вычисления расстояния от некоторой точки $M_{0} \left(x_{0} ;\; y_{0} ;\; z_{0} \right)$ до плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ : $d=\frac{\left|A\cdot x_{0} +B\cdot y_{0} +C\cdot z_{0} +D\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } }$ .

Получаем: $d=\frac{\left|4\cdot 0+2\cdot 0+4\cdot \frac{3}{4} +D\right|}{\sqrt{4^{2} +2^{2} +4^{2} } } =\frac{\left|3+D\right|}{6}$ .

Так как $d=5$ , то для определения $D$ получаем следующее уравнение:

$\frac{\left|3+D\right|}{6} =5; \left|3+D\right|=30; 3+D=\pm 30.$

Отсюда имеем два значения: $D_{1} =-33$ , $D_{2} =27$ .

Для найденных значений $D$ получаем две искомые плоскости:

$4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z-33=0$ и $4\cdot x+2\cdot y+4\cdot z+27=0$ .

«Параллельность плоскостей» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Задача 3

Вершины $M$ , $N$ , $K$ при основании треугольной пирамиды образованы пересечением плоскости основания пирамиды, общее уравнение которой $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-600=0$ , с координатными осями $Ox$ , $Oy$ и $Oz$ соответственно. Ещё одна вершина пирамиды находится в точке $L\left(a,b,c\right)$ , где $a=150$ , $b=80$ и $c=60$ . Пирамиду пересекает плоскость $P$ , общее уравнение которой $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-1750=0$ . Найти сечение пирамиды этой плоскостью.

Находим координаты вершин $M$ , $N$ , $K$ при основании пирамиды. Пусть эти вершины отсекают на координатных осях $Ox$ , $Oy$ и $Oz$ отрезки $m$ , $n$ и $k$ соответственно.

Координаты вершин $M\left(m,0,0\right)$ , $N\left(0,n,0\right)$ и $K\left(0,0,k\right)$ подставляем в уравнение основания пирамиди $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-600=0$ и получаем $m=50$ , $n=60$ и $k=120$ .

Пусть некоторая прямая проходит через точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ параллельно вектору $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$ . Тогда три уравнения $x=x_{0} +m\cdot t$ , $y=y_{0} +n\cdot t$ , $z=z_{0} +p\cdot t$ , в которых $t$ -- параметр, представляют собой параметрические уравнения этой прямой.

Чтобы найти параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$ , следует сначала построить вектор $\overline{M_{1} M_{2} }=\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot \bar{i}+\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot \bar{j}+\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot \bar{k}$ , а затем записать параметрические уравнения, а именно: $x=x_{1} +\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot t$ , $y=y_{1} +\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot t$ , $z=z_{1} +\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot t$ .

Ребро $ML$ проходит через точки $M\left(50,0,0\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$ . Записываем параметрические уравнения ребра $ML$ :

$x=50+\left(150-50\right)\cdot t, y=0+\left(80-0\right)\cdot t, z=0+\left(60-0\right)\cdot t$

или окончательно $x=50+100\cdot t$ , $y=80\cdot t$ , $z=60\cdot t$ .

Чтобы найти координаты точки пересечения $T\left(x,y,z\right)$ плоскости, общее уравнение которой $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ , и прямой с параметрическими уравнениями $x=x_{0} +m\cdot t$ , $y=y_{0} +n\cdot t$ , $z=z_{0} +p\cdot t$ , нужно:

подставить параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости $A\cdot \left(x_{0} +m\cdot t\right)+B\cdot \left(y_{0} +n\cdot t\right)+C\cdot \left(z_{0} +p\cdot t\right)+D=0$ ;
из полученного выражения найти параметр $t$ ;
значение параметра $t$ подставить в параметрические уравнения прямой и вычислить координаты $x$ , $y$ и $z$ точки пересечения $T\left(x,y,z\right)$ .

Находим точку пересечения ребра пирамиды $ML$ с плоскостью $P$ .

Для этого подставляем параметрические уравнения ребра в общее уравнение плоскости:

$12\cdot \left(50+100\cdot t\right)+10\cdot 80\cdot t+5\cdot 60\cdot t-1750=0.$

Из этого выражения находим параметр $t$ :

$600+1200\cdot t+800\cdot t+300\cdot t-1750=0; 2300\cdot t-1150=0; t=0,5.$

Значение параметра $t$ подставляем в параметрические уравнения ребра $ML$ в вычисляем координаты точки пересечения $M_{1} \left(x,y,z\right)$ :

$x=50+100\cdot 0,5=100; y=80\cdot 0,5=40; z=60\cdot 0,5=30.$

Следовательно, координаты точки пересечения: $M_{1} \left(100,40,30\right)$ .

Ребро $NL$ проходит через точки $N\left(0,60,0\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$ . Параметрические уравнения ребра $NL$ :

$x=0+\left(150-0\right)\cdot t, y=60+\left(80-60\right)\cdot t, z=0+\left(60-0\right)\cdot t$

или окончательно $x=150\cdot t$ , $y=60+20\cdot t$ , $z=60\cdot t$ .

Находим точку пересечения ребра пирамиды $NL$ с плоскостью $P$ .

Для этого подставляем параметрические уравнения ребра в общее уравнение плоскости:

$12\cdot 150\cdot t+10\cdot \left(60+20\cdot t\right)+5\cdot 60\cdot t-1750=0.$

Из полученного выражения находим параметр $t$ :

$1800\cdot t+600+200\cdot t+300\cdot t-1750=0; 2300\cdot t-1150=0; t=0,5.$

Значение параметра $t$ подставляем в параметрические уравнения ребра $NL$ и вычисляем координаты точки пересечения $N_{1} \left(x,y,z\right)$ :

$x=150\cdot 0,5=75; y=60+20\cdot 0,5=70; z=60\cdot 0,5=30.$

Следовательно, координаты точки пересечения: $N_{1} \left(75,70,30\right)$ .

Ребро $KL$ проходит через точки $K\left(0,0,120\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$ . Параметрические уравнения ребра $KL$ :

$x=0+\left(150-0\right)\cdot t, y=0+\left(80-0\right)\cdot t, z=120+\left(60-120\right)\cdot t$

или окончательно $x=150\cdot t$ , $y=80\cdot t$ , $z=120-60\cdot t$ .

Находим точку пересечения ребра пирамиды $KL$ с плоскостью $P$ .

Для этого подставляем параметрические уравнения ребра в общее уравнение плоскости:

$12\cdot 150\cdot t+10\cdot 80\cdot t+5\cdot \left(120-60\cdot t\right)-1750=0.$

Из полученного выражения находим параметр $t$ :

$1800\cdot t+800\cdot t+600-300\cdot t-1750=0; 2300\cdot t-1150=0; t=0,5.$

Значение параметра $t$ подставляем в параметрические уравнения ребра $KL$ и вычисляем координаты точки пересечения $K_{1} \left(x,y,z\right)$ :

$x=150\cdot 0,5=75; y=80\cdot 0,5=40; z=120-60\cdot 0,5=90.$

Следовательно, координаты точки пересечения: $K_{1} \left(75,40,90\right)$ .

Вывод: сечение пирамиды плоскостью $P$ представляет собой пространственный треугольник $M_{1} N_{1} K_{1}$ с вершинами, координаты которых $M_{1} \left(100,40,30\right)$ , $N_{1} \left(75,70,30\right)$ и $K_{1} \left(75,40,90\right)$ .