Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.
То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.
Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.
Основные термины из канонического уравнения параболы
Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.
Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.
Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.
Что из себя представляет каноническое уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:
$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.
Число $p$ из уравнения носит название "фокальный параметр".
Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.
Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.
А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = - 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.
Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.
При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$
Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы
Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы
Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.
Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac{p}{2}$ и $y = 0$.
Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = - \frac{p}{2}$.
Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:
$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.
Икс и игрек для этой точки равны $\frac{p}{2}$ $y$ соответственно.
Запишем уравнение (1) в координатной форме:
$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 }= x + \frac{p}{2}$
Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
$(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac{p^2}{4}$
После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.
Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции
Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:
$y = ax^2 + bx + c$.
Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:
$x_A = - \frac{b}{2a}$
$y_A = - \frac{D}{4a}$, где $D = b^2 – 4ac$.
Пример составления классического уравнения параболы
Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.
Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac{1}{2}$ фокального параметра $\frac{p}{2} = 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.
После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.
Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику
Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения
Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.
Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:
$2^2 = 2 \cdot 2p$
Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.
