Логарифм степени основания
Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:
$\log_{a}a^s=s$
при $a > 0$, $a \ne 1$,
$s$ – любом числе.
Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.
$\log_{11}{11^8}=8$;
$\lg10^{-17}=-17$;
$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.
Логарифм степени числа
Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:
$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}|x|$
при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.
Найти значение выражения $\log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121$.
Решение.
Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:
$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}5+2\log_{11}11=$
воспользуемся равенством $\log_{a}a=1$:
$=-3+2=-1$.
Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}121=-1$.
При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:
Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$s \log_{a}x=\log_{a}x^s$
при $a,b > 0$, $a \ne 1$.
Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.
Решение.
Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:
$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}x-7 \log_{13}x=12 \log_{13}x-7 \log_{13}x=5 \log_{13}x=$
внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:
$=\log_{13}x^5$.
Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.
Логарифм корня
Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:
$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x$
при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}2$.
Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lgx=\frac{5}{7}$.
Решение.
Используем свойство логарифма корня:
$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$
воспользуемся свойством логарифма произведения:
$\frac{1}{3} (\lg10+\lgx )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.
Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.
Также можно применять и обратное свойство:
Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$
при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6$.
Решение.
Применим свойство логарифма корня:
$\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}6=\log_{12}2+\log_{12}6=$
используем свойство суммы логарифмов:
$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}12=1$.
Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6=1$.
При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:
$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.
Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.
Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.
Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.
Решение.
Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:
$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$
теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:
$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.
Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.
Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}x=13$.
Решение.
Применим свойство логарифма дроби:
$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}16=$
к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:
$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$
подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:
$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.
Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.
