Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Логарифм степени

Логарифм степени основания

Определение 1

Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:

logaas=s

при a>0, a1,

s – любом числе.

Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.

Пример 1

log11118=8;

lg1017=17;

log8,7(8,7)7,23=7,23.

Логарифм степени числа

Определение 2

Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:

logaxr=rloga|x|

при xr,a>0, a1.

Пример 2

Найти значение выражения log51125+log11121.

Решение.

Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:

log51125+log11121=log553+log11112=3log55+2log1111=

воспользуемся равенством logaa=1:

=3+2=1.

Ответ: log51125+log11121=1.

При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:

Определение 3

Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:

slogax=logaxs

при a,b>0, a1.

Пример 3

Упростить 6log13x2log13x7.

Решение.

Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:

6log13x2log13x7=62log13x7log13x=12log13x7log13x=5log13x=

внесем коэффициент 5 под знак логарифма:

=log13x5.

Ответ: 6log13x2log13x7=log13x5.

«Логарифм степени» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Логарифм корня

Определение 4

Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:

logarx=1rlogax

при a,x>0, a1, r – натуральное число, r>1.

Пример 4

log7,862=log7,8216=16log7,82.

Пример 5

Найти значение выражения lg310x, если lgx=57.

Решение.

Используем свойство логарифма корня:

lg310x=13lg10x=

воспользуемся свойством логарифма произведения:

13(lg10+lgx)=13(1+57)=13127=1221.

Ответ: lg310x=1221.

Также можно применять и обратное свойство:

Определение 5

Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:

1rlogax=logarx

при a,x>0, a1, r – натуральное число, r>1.

Пример 6

Вычислить 14log1216+log126.

Решение.

Применим свойство логарифма корня:

14log1216+log126=log12416+log126=log122+log126=

используем свойство суммы логарифмов:

=log1226=log1212=1.

Ответ: 14log1216+log126=1.

При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:

logaxay=yx.

Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.

Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.

Пример 7

Вычислить log279781.

Решение.

Запишем основание логарифма 27 и подлогарифмическое выражение 9781 в виде степени числа 3:

log279781=log3332347=log333187=

теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:

=1873=1873=67.

Ответ: log279781=67.

Пример 8

Вычислить log118x316, если log118x=13.

Решение.

Применим свойство логарифма дроби:

log118x316=log118x3log11816=

к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа 2:

=3log118xlog231124=

подставим условие log118x=13 в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:

=3134311=394113=39443=733=2413.

Ответ: log118x316=2413.

Дата последнего обновления статьи: 19.07.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Логарифм степени"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant