Логарифм степени основания
Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:
logaas=s
при a>0, a≠1,
s – любом числе.
Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.
log11118=8;
lg10−17=−17;
log√8,7(√8,7)7,23=7,23.
Логарифм степени числа
Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:
logaxr=r⋅loga|x|
при xr,a>0, a≠1.
Найти значение выражения log51125+log11121.
Решение.
Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:
log51125+log11121=log55−3+log11112=−3log55+2log1111=
воспользуемся равенством logaa=1:
=−3+2=−1.
Ответ: log51125+log11121=−1.
При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:
Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:
slogax=logaxs
при a,b>0, a≠1.
Упростить 6log13x2−log13x7.
Решение.
Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:
6log13x2−log13x7=6⋅2log13x−7log13x=12log13x−7log13x=5log13x=
внесем коэффициент 5 под знак логарифма:
=log13x5.
Ответ: 6log13x2−log13x7=log13x5.
Логарифм корня
Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:
logar√x=1r⋅logax
при a,x>0, a≠1, r – натуральное число, r>1.
log7,86√2=log7,8216=16log7,82.
Также можно применять и обратное свойство:
Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:
1r⋅logax=logar√x
при a,x>0, a≠1, r – натуральное число, r>1.
Вычислить 14log1216+log126.
Решение.
Применим свойство логарифма корня:
14log1216+log126=log124√16+log126=log122+log126=
используем свойство суммы логарифмов:
=log122⋅6=log1212=1.
Ответ: 14log1216+log126=1.
При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:
logaxay=yx.
Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.
Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.
Вычислить log2797√81.
Решение.
Запишем основание логарифма 27 и подлогарифмическое выражение 97√81 в виде степени числа 3:
log2797√81=log3332⋅347=log333187=
теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:
=1873=187⋅3=67.
Ответ: log2797√81=67.
Вычислить log11√8x316, если log11√8x=13.
Решение.
Применим свойство логарифма дроби:
log11√8x316=log11√8x3−log11√816=
к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа 2:
=3log11√8x−log231124=
подставим условие log11√8x=13 в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:
=3⋅13−4311=39−4⋅113=39−443=733=2413.
Ответ: log11√8x316=2413.