Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Определитель матрицы 3 на 3

Определение 1

Детерминант матрицы (не путайте с дискриминантом для квадратных уравнений) — это определённая матричная характеристика. Иногда вместо термина «детерминант» также используется понятие «определитель».

Детерминант можно посчитать только для квадратных матриц, поэтому при постановке вопроса о нахождении детерминанта для матрицы с размерностью 3 имеют в виду именно квадратную матрицу.

Ниже мы рассмотрим различные способы нахождения определителя 3х3.

Разложение определителя матрицы по строчке

Этот метод сложнее на словах, чем на деле.

Суть его в том, что определитель записывается как сумма произведений элементов первой или любой другой строчки и соответствующих им определителей размером 2 на 2.

Определитель для каждого произведения состоит из элементов, записанных без элементов той строчки и столбца, в которых стоит единичный элемент-множитель.

Также можно осуществлять разложение не только по первой строчке, но и по любой другой или даже столбцу.

Чтобы определить знак, который записывается перед очередным произведением, необходимо помнить, что знаки при элементах чередуются, у первого элемента первой строки — плюс.

То есть произведение при первом элементе первой строчки будет записываться положительным.

Пример 1

Вычислите определитель для M разложением по любой строчке:

M=(1257435010)

Решение:

Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:

Δ=(5)254301573+101274=(5(6+20)0+10(414)=(5)260100=230.

«Определитель матрицы 3 на 3» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Способ «по-французски»: правило Саррюса

Самый легко запоминаемый способ.

Первые два столбика матрицы переписываются рядом справа с исходной матрицей, а дальше рассматриваются левые и правые образуемые диагонали.

Тройки произведений чисел с розовых диагоналей записываются с плюсом, а с синих – с минусом.

Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Посчитайте определитель М этим методом.

Решение:

Δ=(1)(4)10+23(5)+5702710(1)305(4)(5)=4030+01400100=230.

Мнемоническое правило с треугольниками

Несколько более сложный способ для запоминания в отличие от предыдущего.

Суть его в том, что произведения троек значений с главной диагонали и с двух треугольников, одна из сторон для каждого параллельна главной диагонали, записываются с плюсом, а с минусом записываются те произведения, что на побочной диагонали и двух треугольниках с параллельными ей сторонами (смотрите рисунок).

Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Приведение матричной таблицы к треугольной

В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой сверху или снизу от главной диагонали равны нулю.

Пример 3

Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.

Решение:

Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.

Поэтому:

1257435010=125743150525=5125743102=5112572231022=10115723102.

Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.

1) (2) 17 + (3), результат запишем в третьей строчке:

115723027177 ;

2) (1) 7 + (2), полученное запишем во второй строчке:

1150538027177 ;

3) (2) 235 + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:

115053800235 ;

Получили матрицу нужного типа. Посчитаем D:

Δ=10(1)5235=230.

Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.

Теперь вы умеете решать определители матриц наиболее распространёнными способами.

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Определитель матрицы 3 на 3"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant