Детерминант матрицы (не путайте с дискриминантом для квадратных уравнений) — это определённая матричная характеристика. Иногда вместо термина «детерминант» также используется понятие «определитель».
Детерминант можно посчитать только для квадратных матриц, поэтому при постановке вопроса о нахождении детерминанта для матрицы с размерностью 3 имеют в виду именно квадратную матрицу.
Ниже мы рассмотрим различные способы нахождения определителя 3х3.
Разложение определителя матрицы по строчке
Этот метод сложнее на словах, чем на деле.
Суть его в том, что определитель записывается как сумма произведений элементов первой или любой другой строчки и соответствующих им определителей размером 2 на 2.
Определитель для каждого произведения состоит из элементов, записанных без элементов той строчки и столбца, в которых стоит единичный элемент-множитель.
Также можно осуществлять разложение не только по первой строчке, но и по любой другой или даже столбцу.
Чтобы определить знак, который записывается перед очередным произведением, необходимо помнить, что знаки при элементах чередуются, у первого элемента первой строки — плюс.
То есть произведение при первом элементе первой строчки будет записываться положительным.
Вычислите определитель для $M$ разложением по любой строчке:
$M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end{pmatrix}$
Решение:
Рисунок 1. Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:
$Δ= (-5) \cdot \begin{array}{|cc|} 2 & 5 \\ -4 & 3 \\ \end{array} – 0 \cdot \begin{array} {|cc|} - 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ \end{array} + 10 \cdot \begin{array}{|cc|} -1 & 2 \\ 7 & -4 \\ \end{array} = ( - 5 \cdot (6 + 20) – 0 + 10 \cdot (4 – 14) = (-5) \cdot 26 – 0 – 100 = -230$.
Способ «по-французски»: правило Саррюса
Самый легко запоминаемый способ.
Первые два столбика матрицы переписываются рядом справа с исходной матрицей, а дальше рассматриваются левые и правые образуемые диагонали.
Тройки произведений чисел с розовых диагоналей записываются с плюсом, а с синих – с минусом.
Рисунок 2. Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Посчитайте определитель $М$ этим методом.
Решение:
$Δ = (-1) \cdot (-4) \cdot 10 + 2 \cdot 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 7 \cdot 0 – 2 \cdot 7 \cdot 10 - (-1) \cdot 3 \cdot 0 – 5 \cdot (-4) \cdot (-5) = 40 – 30 + 0 -140 – 0 – 100 = 230$.
Мнемоническое правило с треугольниками
Несколько более сложный способ для запоминания в отличие от предыдущего.
Суть его в том, что произведения троек значений с главной диагонали и с двух треугольников, одна из сторон для каждого параллельна главной диагонали, записываются с плюсом, а с минусом записываются те произведения, что на побочной диагонали и двух треугольниках с параллельными ей сторонами (смотрите рисунок).
Рисунок 3. Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Приведение матричной таблицы к треугольной
В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой сверху или снизу от главной диагонали равны нулю.
Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.
Решение:
Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.
Поэтому:
$\begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end{array} = \begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ \end{array}= 5 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array} = 5 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 \cdot 2 & 5 \\ 7 & -2 \cdot 2 & 3 \\ -1 & 0 \cdot 2 & 2 \\ \end{array}= 10 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array}$.
Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.
1) (2) $\cdot \frac17$ + (3), результат запишем в третьей строчке:
$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ 0 & -\frac27 & \frac{17}{7} \\ \end{array}$ ;
2) (1) $ \cdot 7$ + (2), полученное запишем во второй строчке:
$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 38 \\ 0 & -\frac27 & \frac{17}{7} \\ \end{array}$ ;
3) (2) $\cdot \frac{2}{35}$ + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:
$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 38 \\ 0 & 0 & \frac{23}{5} \\ \end{array}$ ;
Получили матрицу нужного типа. Посчитаем $D$:
$Δ = 10 \cdot (-1) \cdot 5 \cdot \frac{23}{5} = -230$.
Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.
Теперь вы умеете решать определители матриц наиболее распространёнными способами.
