Детерминант матрицы (не путайте с дискриминантом для квадратных уравнений) — это определённая матричная характеристика. Иногда вместо термина «детерминант» также используется понятие «определитель».
Детерминант можно посчитать только для квадратных матриц, поэтому при постановке вопроса о нахождении детерминанта для матрицы с размерностью 3 имеют в виду именно квадратную матрицу.
Ниже мы рассмотрим различные способы нахождения определителя 3х3.
Разложение определителя матрицы по строчке
Этот метод сложнее на словах, чем на деле.
Суть его в том, что определитель записывается как сумма произведений элементов первой или любой другой строчки и соответствующих им определителей размером 2 на 2.
Определитель для каждого произведения состоит из элементов, записанных без элементов той строчки и столбца, в которых стоит единичный элемент-множитель.
Также можно осуществлять разложение не только по первой строчке, но и по любой другой или даже столбцу.
Чтобы определить знак, который записывается перед очередным произведением, необходимо помнить, что знаки при элементах чередуются, у первого элемента первой строки — плюс.
То есть произведение при первом элементе первой строчки будет записываться положительным.
Вычислите определитель для M разложением по любой строчке:
M=(−1257−43−5010)
Решение:
Рисунок 1. Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:
Δ=(−5)⋅25−43–0⋅−1573+10⋅−127−4=(−5⋅(6+20)–0+10⋅(4–14)=(−5)⋅26–0–100=−230.
Способ «по-французски»: правило Саррюса
Самый легко запоминаемый способ.
Первые два столбика матрицы переписываются рядом справа с исходной матрицей, а дальше рассматриваются левые и правые образуемые диагонали.
Тройки произведений чисел с розовых диагоналей записываются с плюсом, а с синих – с минусом.
Рисунок 2. Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Посчитайте определитель М этим методом.
Решение:
Δ=(−1)⋅(−4)⋅10+2⋅3⋅(−5)+5⋅7⋅0–2⋅7⋅10−(−1)⋅3⋅0–5⋅(−4)⋅(−5)=40–30+0−140–0–100=230.
Мнемоническое правило с треугольниками
Несколько более сложный способ для запоминания в отличие от предыдущего.
Суть его в том, что произведения троек значений с главной диагонали и с двух треугольников, одна из сторон для каждого параллельна главной диагонали, записываются с плюсом, а с минусом записываются те произведения, что на побочной диагонали и двух треугольниках с параллельными ей сторонами (смотрите рисунок).
Рисунок 3. Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Приведение матричной таблицы к треугольной
В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой сверху или снизу от главной диагонали равны нулю.
Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.
Решение:
Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.
Поэтому:
−1257−43−5010=−1257−43−1⋅50⋅52⋅5=5⋅−1257−43−102=5⋅−11⋅257−2⋅23−10⋅22=10⋅−1157−23−102.
Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.
1) (2) ⋅17 + (3), результат запишем в третьей строчке:
−1157−230−27177 ;
2) (1) ⋅7 + (2), полученное запишем во второй строчке:
−11505380−27177 ;
3) (2) ⋅235 + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:
−115053800235 ;
Получили матрицу нужного типа. Посчитаем D:
Δ=10⋅(−1)⋅5⋅235=−230.
Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.
Теперь вы умеете решать определители матриц наиболее распространёнными способами.