Вывод формулы Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница (ФНЛ) устанавливает связь между определенным и неопределеным интегралами, благодаря чему появляется простая возможность вычислять определенные интегралы (ОИ). Эта формула составляет содержание основной теоремы интегрального исчисления.
Если функция $f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$, то для любой её первообразной $Ф$ $\left(x\right)$ на этом отрезке справедлива формула $\int \limits _{a}^{b}f\left(t\right)\cdot dt$ = $Ф \left(b\right) - Ф \left(a\right)$.
Из формулы $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$ следует, что функция $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt $ -- первообразная для функции $f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$. По условию теоремы, $Ф$ $\left(x\right)$ -- тоже какая-то первообразная для функции $f\left(x\right)$ на том же отрезке $\left[a,\; b\right]$. Следовательно, обе эти первообразные должны отличаться между собой на определенную константу, то есть $\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ = $Ф \left(x\right)+C$.
Положим в этой формуле $x=a$: $\int \limits _{a}^{a}f\left(t\right)\cdot dt =Ф \left(a\right)+C$, откуда $C=-Ф \left(a\right)$. Таким образом, окончательно получаем $\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt =Ф$ $ \left(x\right)-Ф \left(a\right)$.
Этой формуле, обычно, придают стандартный вид, заменив $x$ на $b$, $t$ на $x$ и $Ф$ на $F$, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =F\left(b\right)-F\left(a\right)$. Именно эта формула и называется формулой Ньютона-Лейбница. Её содержание формулируется следующим образом: ОИ от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленной для верхнего и нижнего пределов интегрирования соответственно. Отметим, что при непосредственном вычислении ОИ разность $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ условно обозначают $\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b} $.
Вычислить интеграл $\int \limits _{1}^{3}x^{2} \cdot dx $.
Приводим наиболее подробное решение. Подынтегральная функция $f\left(x\right)=x^{2} $ является непрерывной на отрезке интегрирования $\left[1,\; 3\right]$, поэтому для вычисления ОИ можно использовать ФНЛ. Одной из первообразных для функции $f\left(x\right)=x^{2} $ является функция $F\left(x\right)=\frac{x^{3} }{3} $, о чем свидетельствует табличный интеграл $\int x^{a} \cdot dx=\frac{x^{a+1} }{a+1} +C,\quad a\ne -1$. Применяем ФНЛ: $\int \limits _{1}^{3}x^{2} \cdot dx =\left[\frac{x^{3} }{3} \right]_{1}^{3} =\frac{3^{3} }{3} -\frac{1^{3} }{3} =\frac{26}{3} $.
Вычислить ОИ $\int \limits _{1}^{2}\left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x+3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx $.
Находим сначала неопределенный интеграл:
\[\int \left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x+3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx =\int \left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } +\frac{3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx =\] \[=\int 6\cdot x^{2} \cdot dx +\int 4\cdot x^{\frac{1}{3} } \cdot dx +\int 3\cdot x^{\frac{5}{6} } \cdot dx =6\cdot \int x^{2} \cdot dx +4\cdot \int x^{\frac{1}{3} } \cdot dx +3\cdot \int x^{\frac{5}{6} } \cdot dx =\] \[=6\cdot \frac{x^{3} }{3} +4\cdot \frac{x^{\frac{1}{3} +1} }{\frac{1}{3} +1} +3\cdot \frac{x^{\frac{5}{6} +1} }{\frac{5}{6} +1} +C=2\cdot x^{3} +3\cdot x^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot x^{\frac{11}{6} } +C.\]Теперь применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{1}^{2}\left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x+3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx =\left[2\cdot x^{3} +3\cdot x^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot x^{\frac{11}{6} } \right]_{1}^{2} =\] \[=\left(2\cdot 2^{3} +3\cdot 2^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 2^{\frac{11}{6} } \right)-\left(2\cdot 1^{3} +3\cdot 1^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 1^{\frac{11}{6} } \right)=\] \[=16+3\cdot 2^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 2^{\frac{11}{6} } -2-3-\frac{18}{11} =11+3\cdot 2^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 2^{\frac{11}{6} } -\frac{18}{11} \approx 22,7545.\]Вычислить ОИ $\int \limits _{0}^{1}\frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} \, \cdot dx $.
Находим сначала неопределенный интеграл $\int \frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} \, \cdot dx $.
Выделяем целую часть рациональной дроби:
\[\frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} =x+2+\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} .\]Правильную рациональную дробь $\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} =\frac{7\cdot x+10}{\left(x+1\right)\cdot \left(x-3\right)} $ раскладываем на простейшие дроби:
\[\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} =\frac{A}{x+1} +\frac{B}{x-3} ; 7\cdot x+10=A\cdot \left(x-3\right)+B\cdot \left(x+1\right); \] \[7\cdot x+10=\left(A+B\right)\cdot x+\left(-3\cdot A+B\right); 7=A+B; 10=-3\cdot A+B; \] \[10=-3\cdot A+\left(7-A\right); A=-\frac{3}{4} ; B=\frac{31}{4} .\]Получаем: $\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} =\frac{-\frac{3}{4} }{x+1} +\frac{\frac{31}{4} }{x-3} $.
Интеграл приобретает вид:
\[\int \left(x+2+\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} \right)\, \cdot dx =\int \left(x+2-\frac{{3\mathord{\left/ {\vphantom {3 4}} \right.} 4} }{x+1} +\frac{{31\mathord{\left/ {\vphantom {31 4}} \right. } 4} }{x-3} \right)\, \cdot dx =\] \[=\frac{x^{2} }{2} +2\cdot x-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|x+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|x-3\right|+C. \]Теперь применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{0}^{1}\frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} \, \cdot dx =\left[\frac{x^{2} }{2} +2\cdot x-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|x+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|x-3\right|\right]_{0}^{1} =\] \[=\left(\frac{1^{2} }{2} +2\cdot 1-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|1+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|1-3\right|\right)-\] \[-\left(\frac{0^{2} }{2} +2\cdot 0-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|0+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|0-3\right|\right)=\] \[=\left(\frac{1}{2} +2-\frac{3}{4} \cdot \ln 2+\frac{31}{4} \cdot \ln 2\right)-\left(-\frac{3}{4} \cdot \ln 1+\frac{31}{4} \cdot \ln 2\right)=\] \[=\frac{1}{2} +2-\frac{3}{4} \cdot \ln 2+\frac{31}{4} \cdot \ln 2-\frac{31}{4} \cdot \ln 2=\frac{5}{2} -\frac{3}{4} \cdot \ln 2.\]Вычислить ОИ $\int \limits _{0}^{1}\left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx $.
Находим сначала неопределенный интеграл $\int \left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx $.
Представляем подынтегральную функцию в виде суммы:
\[f\left(x\right)=\left(1-3^{x} \right)^{2} =1-2\cdot 3^{x} +3^{2\cdot x} =1-2\cdot 3^{x} +9^{x} .\]Применяем свойства интеграла относительно интеграла суммы и постоянного множителя, а также то, что интеграл от дифференциала функции равен самой функции. Для поиска полученных интегралов является подходящим табличний интеграл $\int a^{x} \cdot dx =\frac{a^{x} }{\ln a} +C$.
\[\int \left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx =\int \left(1-2\cdot 3^{x} +9^{x} \right)\cdot dx =\] \[=\int dx -2\cdot \int 3^{x} \cdot dx +\int 9^{x} \cdot dx =x-2\cdot \frac{3^{x} }{\ln 3} +\frac{9^{x} }{\ln 9} +C.\]Теперь применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{0}^{1}\left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx =\left[x-2\cdot \frac{3^{x} }{\ln 3} +\frac{9^{x} }{\ln 9} \right]_{0}^{1} =\] \[=\left(1-2\cdot \frac{3^{1} }{\ln 3} +\frac{9^{1} }{\ln 9} \right)-\left(0-2\cdot \frac{3^{0} }{\ln 3} +\frac{9^{0} }{\ln 9} \right)=\] \[=1-\frac{6}{\ln 3} +\frac{9}{\ln 9} +\frac{2}{\ln 3} -\frac{1}{\ln 9} =1-\frac{4}{\ln 3} +\frac{8}{\ln 9} .\]
