Формула Ньютона-Лейбница

Вычислить интеграл $\int \limits _{1}^{3}x^{2} \cdot dx$.

Приводим наиболее подробное решение. Подынтегральная функция $f\left(x\right)=x^{2}$ является непрерывной на отрезке интегрирования $\left[1,\; 3\right]$, поэтому для вычисления ОИ можно использовать ФНЛ. Одной из первообразных для функции $f\left(x\right)=x^{2}$ является функция $F\left(x\right)=\frac{x^{3} }{3}$, о чем свидетельствует табличный интеграл $\int x^{a} \cdot dx=\frac{x^{a+1} }{a+1} +C,\quad a\ne -1$. Применяем ФНЛ: $\int \limits _{1}^{3}x^{2} \cdot dx =\left[\frac{x^{3} }{3} \right]_{1}^{3} =\frac{3^{3} }{3} -\frac{1^{3} }{3} =\frac{26}{3}$.

Вычислить ОИ $\int \limits _{1}^{2}\left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x+3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx$.

Находим сначала неопределенный интеграл:

$$\int \left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x+3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx =\int \left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } +\frac{3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx =$$ $$=\int 6\cdot x^{2} \cdot dx +\int 4\cdot x^{\frac{1}{3} } \cdot dx +\int 3\cdot x^{\frac{5}{6} } \cdot dx =6\cdot \int x^{2} \cdot dx +4\cdot \int x^{\frac{1}{3} } \cdot dx +3\cdot \int x^{\frac{5}{6} } \cdot dx =$$ $$=6\cdot \frac{x^{3} }{3} +4\cdot \frac{x^{\frac{1}{3} +1} }{\frac{1}{3} +1} +3\cdot \frac{x^{\frac{5}{6} +1} }{\frac{5}{6} +1} +C=2\cdot x^{3} +3\cdot x^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot x^{\frac{11}{6} } +C.$$

Теперь применяем ФНЛ:

$$\int \limits _{1}^{2}\left(6\cdot x^{2} +\frac{4\cdot x+3\cdot x\cdot \sqrt{x} }{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \right)\cdot dx =\left[2\cdot x^{3} +3\cdot x^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot x^{\frac{11}{6} } \right]_{1}^{2} =$$ $$=\left(2\cdot 2^{3} +3\cdot 2^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 2^{\frac{11}{6} } \right)-\left(2\cdot 1^{3} +3\cdot 1^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 1^{\frac{11}{6} } \right)=$$ $$=16+3\cdot 2^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 2^{\frac{11}{6} } -2-3-\frac{18}{11} =11+3\cdot 2^{\frac{4}{3} } +\frac{18}{11} \cdot 2^{\frac{11}{6} } -\frac{18}{11} \approx 22,7545.$$

Вычислить ОИ $\int \limits _{0}^{1}\frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} \, \cdot dx$.

Находим сначала неопределенный интеграл $\int \frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} \, \cdot dx$.

Выделяем целую часть рациональной дроби:

$$\frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} =x+2+\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} .$$

Правильную рациональную дробь $\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} =\frac{7\cdot x+10}{\left(x+1\right)\cdot \left(x-3\right)}$ раскладываем на простейшие дроби:

$$\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} =\frac{A}{x+1} +\frac{B}{x-3} ; 7\cdot x+10=A\cdot \left(x-3\right)+B\cdot \left(x+1\right);$$ $$7\cdot x+10=\left(A+B\right)\cdot x+\left(-3\cdot A+B\right); 7=A+B; 10=-3\cdot A+B;$$ $$10=-3\cdot A+\left(7-A\right); A=-\frac{3}{4} ; B=\frac{31}{4} .$$

Получаем: $\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} =\frac{-\frac{3}{4} }{x+1} +\frac{\frac{31}{4} }{x-3}$.

Интеграл приобретает вид:

$$\int \left(x+2+\frac{7\cdot x+10}{x^{2} -2\cdot x-3} \right)\, \cdot dx =\int \left(x+2-\frac{{3\mathord{\left/ {\vphantom {3 4}} \right.} 4} }{x+1} +\frac{{31\mathord{\left/ {\vphantom {31 4}} \right. } 4} }{x-3} \right)\, \cdot dx =$$ $$=\frac{x^{2} }{2} +2\cdot x-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|x+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|x-3\right|+C.$$

Теперь применяем ФНЛ:

$$\int \limits _{0}^{1}\frac{x^{3} +4}{x^{2} -2\cdot x-3} \, \cdot dx =\left[\frac{x^{2} }{2} +2\cdot x-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|x+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|x-3\right|\right]_{0}^{1} =$$ $$=\left(\frac{1^{2} }{2} +2\cdot 1-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|1+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|1-3\right|\right)-$$ $$-\left(\frac{0^{2} }{2} +2\cdot 0-\frac{3}{4} \cdot \ln \left|0+1\right|+\frac{31}{4} \cdot \ln \left|0-3\right|\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{2} +2-\frac{3}{4} \cdot \ln 2+\frac{31}{4} \cdot \ln 2\right)-\left(-\frac{3}{4} \cdot \ln 1+\frac{31}{4} \cdot \ln 2\right)=$$ $$=\frac{1}{2} +2-\frac{3}{4} \cdot \ln 2+\frac{31}{4} \cdot \ln 2-\frac{31}{4} \cdot \ln 2=\frac{5}{2} -\frac{3}{4} \cdot \ln 2.$$

Вычислить ОИ $\int \limits _{0}^{1}\left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx$.

Находим сначала неопределенный интеграл $\int \left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx$.

Представляем подынтегральную функцию в виде суммы:

$$f\left(x\right)=\left(1-3^{x} \right)^{2} =1-2\cdot 3^{x} +3^{2\cdot x} =1-2\cdot 3^{x} +9^{x} .$$

Применяем свойства интеграла относительно интеграла суммы и постоянного множителя, а также то, что интеграл от дифференциала функции равен самой функции. Для поиска полученных интегралов является подходящим табличний интеграл $\int a^{x} \cdot dx =\frac{a^{x} }{\ln a} +C$.

$$\int \left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx =\int \left(1-2\cdot 3^{x} +9^{x} \right)\cdot dx =$$ $$=\int dx -2\cdot \int 3^{x} \cdot dx +\int 9^{x} \cdot dx =x-2\cdot \frac{3^{x} }{\ln 3} +\frac{9^{x} }{\ln 9} +C.$$

Теперь применяем ФНЛ:

$$\int \limits _{0}^{1}\left(1-3^{x} \right)^{2} \cdot dx =\left[x-2\cdot \frac{3^{x} }{\ln 3} +\frac{9^{x} }{\ln 9} \right]_{0}^{1} =$$ $$=\left(1-2\cdot \frac{3^{1} }{\ln 3} +\frac{9^{1} }{\ln 9} \right)-\left(0-2\cdot \frac{3^{0} }{\ln 3} +\frac{9^{0} }{\ln 9} \right)=$$ $$=1-\frac{6}{\ln 3} +\frac{9}{\ln 9} +\frac{2}{\ln 3} -\frac{1}{\ln 9} =1-\frac{4}{\ln 3} +\frac{8}{\ln 9} .$$