Умножение обыкновенных дробей
Правило умножения обыкновенных дробей: При умножении двух дробей получается дробь, в числителе которой записывается произведение числителей данных дробей, а в знаменателе – произведение знаменателей:
$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$
Данное правило можно использовать для умножения правильных и неправильных дробей, дробей с одинаковыми и разными знаменателями.
Умножить обыкновенную дробь $\frac{12}{23}$ на обыкновенную дробь $\frac{4}{5}$.
Решение.
Произведение числителей данных дробей равно $12\cdot 4=48$.
Произведение знаменателей равно $23\cdot 5=115$.
Найдем произведение дробей $\frac{12}{23}$ и $\frac{4}{5}$:
$\frac{12}{23}\cdot \frac{4}{5}=\frac{12\cdot 4}{23\cdot 5}=\frac{48}{115}$.
Ответ: $\frac{48}{115}$.
Если в результате умножения дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.
Выполнить умножение дробей $\frac{5}{17}$ и $\frac{43}{4}$.
Решение.
По правилу умножения обыкновенных дробей получим:
$\frac{5}{17}\cdot \frac{43}{4}=\frac{5\cdot 43}{17\cdot 4}=\frac{215}{68}$
Получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:
$\frac{215}{68}=\frac{3 \ 11}{68}$
Ответ: $\frac{3 \ 11}{68}$.
Если хотя бы одна из умножаемых дробей сократима, можно выполнить ее сокращение до умножения. Для этого числители и знаменатели раскладывают на простые множители и сокращают одинаковые множители числителя и знаменателя.
Вычислить произведение дробей $\frac{6}{42}\cdot {49}{9}$.
Решение.
Используя правило умножения обыкновенных дробей, найдем:
$\frac{6}{42}\cdot \frac{49}{9}=\frac{6\cdot 49}{42\cdot 9}$.
Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители:
$\frac{6\cdot 49}{42\cot 9}=\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 3\cdot 3}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 3\cdot 3}=\frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.
При умножении дробей можно использовать переместительное свойство умножения:
При изменении мест множителей их произведение не изменится:
$\frac{a}{b}\cdot {c}{d}=\frac{c}{d}\cdot {a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:
В результате умножения дроби на натуральное число получают дробь, у которой числитель равен произведению числителя дроби и натурального числа, а знаменатель остается неизменным:
$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}$
Если представить натуральное число $n$ в виде неправильной дроби $\frac{n}{1}$ и применить правило умножения двух дробей, получим:
$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{1}=\frac{a\cdot n}{b\cdot 1}=\frac{a\cdot n}{b}$
Выполнить умножение обыкновенной дроби $\frac{7}{13}$ на натуральное число $8$.
Решение.
При умножении числителя дроби $7$ на натуральное число $8$ получим $56$. Воспользуемся правилом умножения дроби на число:
$\frac{7}{13}\cdot 8=\frac{56}{13}$
Т.к. полученная дробь – неправильная, выделим целую часть:
$\frac{56}{13}=4 \frac{4}{13}$
Ответ: $\frac{7}{13}\cdot 8=4 \frac{4}{13}$.
Если в результате умножения дроби на число получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.
Умножить обыкновенную дробь $\frac{4}{25}$ на натуральное число $5$.
Решение.
Используя правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, получим:
$\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4\cdot 5}{25}=\frac{20}{25}$.
В результате умножения получили сократимую дробь $\frac{20}{25}$ (признак делимости на $5$). Выполним ее сокращение:
$\frac{20}{25}=\frac{20\div 5}{25\div 5}=\frac{4}{5}$.
Краткая запись решения:
$\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4\cdot 5}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4}{5}$.
Если умножаемая дробь сократима или натуральное число и знаменатель дроби имеют общий делитель, можно выполнить сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители и сократив одинаковые множители числителя и знаменателя.
Вычислить произведение $\frac{6}{42}\cdot 49$.
Решение.
Используя правило умножения дроби на число, найдем:
$\frac{6}{42}\cdot 49=\frac{6\cdot 49}{42}$.
Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители:
$\frac{6\cdot 49}{42\cdot 9}=\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{7}{1}=7$.
Ответ: $1$.
При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительное свойство:
При изменении мест множителей их произведение не изменится:
$\frac{a}{b}\cdot n=n\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b}$.
