Общие кратные
Целые числа, которые кратны двум числам, являются общими кратными этих чисел.
Проще говоря, любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел, является общим кратным данных целых чисел.
Можно находить общее кратное двух и большего количества целых чисел.
Вычислить общее кратное двух чисел: $2$ и $5$.
Решение.
По определению общим кратным чисел $2$ и $5$ является число $10$, т.к. оно кратно числу $2$ и числу $5$:
$10\div 2=5$,
$10\div 5=2$.
Общими кратными чисел $2$ и $5$ также будут числа $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.д., т.к. все они делятся на числа $2$ и $5$.
Нуль является общим кратным любого количества ненулевых целых чисел.
Согласно свойствам делимости, если некоторое число является общим кратным нескольких чисел, то и противоположное по знаку число также будет общим кратным заданных чисел. Это видно из рассмотренного примера.
Для заданных целых чисел всегда можно найти их общее кратное.
Вычислить общее кратное чисел $111$ и $55$.
Решение.
Перемножим заданные числа: $111\div 55=6105$. Несложно убедится, что число $6105$ делится на число $111$ и на число $55$:
$6105\div 111=55$;
$6105\div 55=111$.
Таким образом, число $6105$ – общее кратное чисел $111$ и $55$.
Ответ: общее кратное чисел $111$ и $55$ равно $6105$.
Но, как мы уже видели из предыдущего примера, это общее кратное не одно. Другими общими кратными будут числа $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.д. Таким образом, мы пришли к следующему выводу:
Любой набор целых чисел имеет бесконечное множество общих кратных.
На практике ограничиваются нахождением общих кратных только целых положительных (натуральных) чисел, т.к. множества кратных данного числа и ему противоположного совпадают.
Определение наименьшего общего кратного
Наиболее часто из всех кратных заданных чисел используют наименьшее общее кратное (НОК).
Наименьшее положительное общее кратное заданных целых чисел является наименьшим общим кратным этих чисел.
Вычислить НОК чисел $4$ и $7$.
Решение.
Т.к. у данных чисел нет общих делителей, то $НОК(4,7)=28$.
Ответ: $НОК (4,7)=28$.
Нахождение НОК через НОД
Т.к. существует связь между НОК и НОД, с ее помощью можно вычислить НОК двух целых положительных чисел:
$НОК (a,b)=\frac{a\cdot b}{НОД (a,b)}$
Вычислить НОК чисел $232$ и $84$.
Решение.
Воспользуемся формулой для нахождения НОК через НОД:
$НОК (a,b)=\frac{a\cdot b}{НОД (a,b)}$
Найдем НОД чисел $232$ и $84$ с помощью алгоритма Эвклида:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
$20=4\cdot 5$.
Т.е. $НОД (232, 84)=4$.
Найдем $НОК (232, 84)$:
$НОК (232,84)=\frac{232\cdot 84}{4}=58\cdot 84=4872$
Ответ: $НОК (232,84)=4872$.
Вычислить $НОК (23, 46)$.
Решение.
Т.к. $46$ делится нацело на $23$, то $НОД (23, 46)=23$. Найдем НОК:
$НОК (23,46)=\frac{23\cdot 46}{23}=46$
Ответ: $НОК (23,46)=46$.
Таким образом, можно сформулировать правило:
Если одно целое число делится на другое целое число, то оно будет являться НОК этих чисел.
Нахождение НОК через разложение чисел на простые множители
Правило нахождения НОК через разложение чисел на простые множители следует из формулы для нахождения НОК через НОД:
Для нахождения НОК заданных чисел необходимо записать произведение всех их простых множителей, затем исключить из этого произведения все общие простые множители, которые присутствуют в разложениях заданных чисел. Полученное произведение будет представлять НОК заданных чисел.
Вычислить НОК чисел $48$ и $60$.
Решение.
Разложим числа $48$ и $60$ на простые множители:
$48=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$
$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$
Запишем произведение из всех простых множителей заданных чисел и из полученного произведения исключим все множители, которые одновременно присутствуют в разложениях чисел $48$ и $60$:
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=240$
Ответ: $НОК (48,60)=240$.
