При исследовании заданной функции особое внимание уделяется характеру ее поведения: возрастает, не возрастает, убывает, не убывает.
Монотонная функция -- это функция, которая меняется в одном и том же направлении.
Примеры монотонных функций приведены на рисунках:
Рисунок 1. Возрастающая функция
Рисунок 2. Убывающая функция
Монотонные функции делят на:
- убывающие функции;
- возрастающие функции.
Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.
Математическая запись определения 2: $f(x):\uparrow x_{1}
Функция является убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции убывают, то заданная функция убывает.
Математическая запись определения 3: $f(x):\downarrow x_{1} f(x_{2})$.
Определить характер функции $y=x^{3} +1$ на отрезке $[0;2]$
Решение:
$\[0
$\[1
Следовательно, заданная функция возрастает на заданном отрезке $[0;2]$.
Определить характер функции $y=\frac{1}{x} $ на отрезке $[1;2]$
Решение:
$\[1f(2)=1/2=0,5\] $
Следовательно, заданная функция убывает на заданном отрезке $[1;2]$.
Функция является не возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее или равное значение заданной функции.
Математическая запись определения 4: $f(x): x_{1}
Функция является не убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее или равное значение заданной функции.
Математическая запись определения 5: $f(x):x_{1}
Постоянная функция -- это функция, которая не возрастает и не убывает.
Математическая запись определения 6: $f(x):x_{1}
Рисунок 3.
Определить характер функции $y=5$ на отрезке $[0;2]$
Решение:
$\[0
$\[1
Следовательно, заданная функция постоянна на заданном отрезке $[0;2]$.
Не возрастающая, не убывающая и постоянная функции не являются монотонными.
Монотонные функции обладают следующими свойствами:
- сумма двух и более возрастающих функций есть возрастающая функция;
- произведение неотрицательных возрастающих функций является возрастающей функцией;
- если возрастающая функция $f(x)$ сохраняет свой знак, то обратная функция $1/f(x)$ является убывающей;
- если возрастающая функция $f(x)$ неотрицательна, то функция $f^{n} (x)$ также является возрастающей (n -- натуральное число);
- для возрастающей функции $f(x)$ и константы $c$ имеем, что функции $cf(x)$, где $c>0$, и $f(x)+c$ возрастают, а функция $cf(x)$, где $c
- Композиция двух возрастающих функций является возрастающей функцией.
Между монотонностью заданной функции и ее производной существует определенная связь, которая описывается следующими теоремами:
Если производная $f'(x)$ заданной функции положительная на некотором промежутке, то данная функция возрастает на рассматриваемом промежутке.
Если производная $f'(x)$ заданной функции отрицательна на некотором промежутке, то данная функция убывает на рассматриваемом промежутке.
Сформулируем обратные теоремы.
Теорема, обратная к теореме 1.
Если заданная функция является возрастающей на некотором промежутке, то производная данной функции неотрицательна или не существует.
Теорема, обратная к теореме 2.
Если заданная функция является убывающей на некотором промежутке, то производная данной функции неположительная или не существует.
Для постоянной функции имеет место следующая теорема:
Функция $y=f(x)$ является постоянной на некотором промежутке, если ее производная равна нулю для всех точек из этого промежутка.
Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание включает следующие этапы:
- нахождение производной заданной функции;
- нахождение стационарных и критических точек ($f'(x)=0$ или не существует);
- определение знака производной на каждом промежутке;
- определение характера поведения функции на каждом промежутке.
Определить характер функции $y=\frac{x}{x-2} $ на интервале $(-\infty ;+\infty )$
Решение:
- Производная функции: $y'=\left(\frac{x}{x-2} \right)'=\frac{1\cdot (x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^{2} } =\frac{x-2-x}{(x-2)^{2} } =-\frac{2}{(x-2)^{2} } $
- Производная неопределенна при $x=2$. Стационарных точек нет.
- Исследуем знак производной с помощью числовой прямой.
Рисунок 4.
Рисунок 5.
Следовательно, заданная функция убывает на всей области определения
Определить характер функции $y=x^{3} -12x$ на интервале $(-\infty ;+\infty )$
Решение:
- Производная функции: $y'=\left(x^{3} -12x\right)'=3x^{2} -12$
- Производная определенна на всем интервале. \[y'=0;\, \, \, 3x^{2} -12=0\Rightarrow 3x^{2} =12\to x^{2} =4\Rightarrow x=\pm 2\]
$x=\pm 2$ - стационарные точки
- Исследуем знак производной с помощью числовой прямой.
Рисунок 6.
- Определим характер поведения функции.
Рисунок 7.
Следовательно, заданная функция убывает на $[-2;2]$, возрастает на $(-\infty ;-2]$ и $[2;+\infty )$.
