Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Нормальный вектор прямой

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Замечание 1

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как Ax+By+C=0. Подставляя в него различные значениях A, B и C, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

y=kx+b.

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента k заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена b - в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки O(0;0).

Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

xcosα+ysinαp=0

где α - угол между прямой и осью абсцисс, а p - расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

  1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
  2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
  3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
  4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.
«Нормальный вектор прямой» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

yy0=k(xx0)

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой - самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Определение 1

Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как n(n1;n2), а координаты точки как x0 и y0, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

n1(xxn)+n2(yy0)=0

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам A и B, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

Ax+By+C=0,

то нормальный вектор описывается формулой:

n¯(A;B).

При этом говорят, что координаты нормального вектора "снимаются" с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора p¯(B;A), а также общее уравнение прямой по направляющему вектору p¯(p1;p2) и точке M0(x0;y0):

xx0p1=yy0p2

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

p¯n¯=BA+AB=0p¯n¯

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как M(x0;y0), а вектор как n¯(A;B), можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

A(xx0)+B(yy0)=0

Пример 1

Составить уравнение прямой по точке M(1;3) и нормальному вектору (¯3;1). Вывести уравнение направляющего вектора.

Для решения задействуем формулу A(xx0)+B(yy0)=0

Подставив значения, получаем:

3(x(1))(1)(y(3))=0 3(x+1)(y+3)=0 3x+3y3=0 3xy=0

Проверить правильность общего уравнения прямой можно "сняв" из него координаты для нормального вектора:

3xy=0A=3;B=1n¯(A;B)=n¯(3;1),

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка M(1;3) уравнению 3xy=0:

3(1)(3)=0

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

p¯(B;A)p¯(1;3)

Ответ: 3xy=0;p¯(1;3).

Дата последнего обновления статьи: 04.03.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Нормальный вектор прямой"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant