Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Нормальное распределение

Пусть X -- непрерывная случайная величина.

Определение 1

Случайная величина X имеет нормальное распределение (распределение Гаусса), если плотность её распределения определяется формулой:

φ(x)=12πσe(xa)22σ2

Здесь aϵR -- математическое ожидание, а σ>0 -- среднее квадратическое отклонение.

Плотность нормального распределения.

Покажем, что эта функция действительно является плотностью распределения. Для этого проверим следующее условие:

Рассмотрим несобственный интеграл +12πσe(xa)22σ2dx.

Сделаем замену: xaσ=t, x=σt+a, dx=σdt.

Так как f(t)=et22 четная функция, то

Равенство выполняется, значит, функция φ(x)=12πσe(xa)22σ2 действительно является плотностью распределения некоторой случайной величины.

Рассмотрим некоторые простейшие свойства функции плотности вероятности нормального распределения φ(x):

  1. График функции плотности вероятности нормального распределения симметричен относительно прямой x=a.
  2. Функция φ(x) достигает максимума при x=a, при этом φ(a)=12πσe(aa)22σ2=12πσ
  3. Функция φ(x) убывает, при x>a, и возрастает, при $x
  4. Функция φ(x) имеет точки перегиба при x=a+σ и x=aσ.
  5. Функция φ(x) асимптотически приближается к оси Ox при x±.
  6. Схематический график выглядит следующим образом (рис. 1).
«Нормальное распределение» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Рис. 1. График плотности нормального распределения

Рисунок 1. Рис. 1. График плотности нормального распределения

!!! Заметим, что, если a=0, то график функции симметричен относительно оси Oy. Следовательно, функция φ(x) четна.

Функция нормального распределения вероятности.

Для нахождения функции распределения вероятности при нормальном распределении воспользуемся следующей формулой:

Следовательно,

Определение 2

Функция F(x) называется стандартным нормальным распределением, если a=0, σ=1, то есть:

F(x)=12πxet22dt=12π(0et22dt+x0et22dt)=0,5+Ф(x)

Здесь Ф(x)=12πx0et22dt - функция Лапласса.

Определение 3

Функция Ф(x)=12πx0et22dt называется интегралом вероятности.

Числовые характеристики нормального распределения.

Математическое ожидание: M(X)=a.

Дисперсия: D(X)=σ2.

Среднее квадратическое распределение: σ(X)=σ.

Пример 1

Пример решения задачи на понятие нормального распределения.

Задача 1: Длина пути X представляет собой случайную непрерывную величину. X распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно 4 километра, а среднее квадратическое отклонение равно 100 метров.

  1. Найти функцию плотности распределения X.
  2. Построить схематически график плотности распределения.
  3. Найти функцию распределения случайной величины X.
  4. Найти дисперсию.

Решение:

  1. Для начала представим все величины в одном измерении: 100м=0,1км

Из определения 1, получим:

φ(x)=10,12πe(x4)20,02

(так как a=4 км, σ=0,1 км)

  1. Используя свойства функции плотности распределения, имеем, что график функции φ(x) симметричен относительно прямой x=4.

Максимум функция достигает в точке (a,12πσ)=(4, 10,12π)

Схематический график имеет вид:



Рисунок 2.

  1. По определению функции распределения F(x)=12πσxe(ta)22σ2dt, имеем:
F(x)=10,12πxe(t4)20,02dt
  1. D(X)=σ2=0,01.
Дата последнего обновления статьи: 12.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Нормальное распределение"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant