Нормальное распределение

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть $X$ -- непрерывная случайная величина.

Определение 1

Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение (распределение Гаусса), если плотность её распределения определяется формулой:

$\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Здесь $aϵR$ -- математическое ожидание, а $\sigma >0$ -- среднее квадратическое отклонение.

Плотность нормального распределения.

Покажем, что эта функция действительно является плотностью распределения. Для этого проверим следующее условие:

Рассмотрим несобственный интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}dx}$ .

Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$ .

Так как $f\left(t\right)=e^{\frac{-t^2}{2}}$ четная функция, то

Равенство выполняется, значит, функция $\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}$ действительно является плотностью распределения некоторой случайной величины.

Рассмотрим некоторые простейшие свойства функции плотности вероятности нормального распределения $\varphi \left(x\right)$ :

График функции плотности вероятности нормального распределения симметричен относительно прямой $x=a$ .
Функция $\varphi \left(x\right)$ достигает максимума при $x=a$ , при этом $\varphi \left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(a-a)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$
Функция $\varphi \left(x\right)$ убывает, при $x>a$ , и возрастает, при $x
Функция $\varphi \left(x\right)$ имеет точки перегиба при $x=a+\sigma$ и $x=a-\sigma$ .
Функция $\varphi \left(x\right)$ асимптотически приближается к оси $Ox$ при $x\to \pm \infty$ .
Схематический график выглядит следующим образом (рис. 1).

«Нормальное распределение» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Рисунок 1. Рис. 1. График плотности нормального распределения

!!! Заметим, что, если $a=0$ , то график функции симметричен относительно оси $Oy$ . Следовательно, функция $\varphi \left(x\right)$ четна.

Функция нормального распределения вероятности.

Для нахождения функции распределения вероятности при нормальном распределении воспользуемся следующей формулой:

Следовательно,

Определение 2

Функция $F(x)$ называется стандартным нормальным распределением, если $a=0,\ \sigma =1$ , то есть:

$F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left(\int\limits^0_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}+\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}\right)=0,5+Ф(x)$

Здесь $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ - функция Лапласса.

Определение 3

Функция $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ называется интегралом вероятности.

Числовые характеристики нормального распределения.

Математическое ожидание: $M\left(X\right)=a$ .

Дисперсия: $D\left(X\right)={\sigma }^2$ .

Среднее квадратическое распределение: $\sigma \left(X\right)=\sigma$ .

Пример 1

Пример решения задачи на понятие нормального распределения.

Задача 1: Длина пути $X$ представляет собой случайную непрерывную величину. $X$ распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно $4$ километра, а среднее квадратическое отклонение равно $100$ метров.

Найти функцию плотности распределения $X$ .
Построить схематически график плотности распределения.
Найти функцию распределения случайной величины $X$ .
Найти дисперсию.

Решение:

Для начала представим все величины в одном измерении: 100м=0,1км

Из определения 1, получим:

$\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,1\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-4)}^2}{0,02}}$

(так как $a=4\ км,\ \sigma =0,1\ км)$

Используя свойства функции плотности распределения, имеем, что график функции $\varphi \left(x\right)$ симметричен относительно прямой $x=4$ .

Максимум функция достигает в точке $\left(a,\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)=(4,\ \frac{1}{0,1\sqrt{2\pi }})$

Схематический график имеет вид:

Рисунок 2.

По определению функции распределения $F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int\limits^x_{-\infty }{e^{\frac{-{(t-a)}^2}{2{\sigma }^2}}dt}$ , имеем: