Пусть X -- непрерывная случайная величина.
Плотность нормального распределения.
Покажем, что эта функция действительно является плотностью распределения. Для этого проверим следующее условие:
Рассмотрим несобственный интеграл +∞∫−∞1√2πσe−(x−a)22σ2dx.
Сделаем замену: x−aσ=t, x=σt+a, dx=σdt.
Так как f(t)=e−t22 четная функция, то
Равенство выполняется, значит, функция φ(x)=1√2πσe−(x−a)22σ2 действительно является плотностью распределения некоторой случайной величины.
Рассмотрим некоторые простейшие свойства функции плотности вероятности нормального распределения φ(x):
- График функции плотности вероятности нормального распределения симметричен относительно прямой x=a.
- Функция φ(x) достигает максимума при x=a, при этом φ(a)=1√2πσe−(a−a)22σ2=1√2πσ
- Функция φ(x) убывает, при x>a, и возрастает, при $x
- Функция φ(x) имеет точки перегиба при x=a+σ и x=a−σ.
- Функция φ(x) асимптотически приближается к оси Ox при x→±∞.
- Схематический график выглядит следующим образом (рис. 1).
Рисунок 1. Рис. 1. График плотности нормального распределения
!!! Заметим, что, если a=0, то график функции симметричен относительно оси Oy. Следовательно, функция φ(x) четна.
Функция нормального распределения вероятности.
Для нахождения функции распределения вероятности при нормальном распределении воспользуемся следующей формулой:
Следовательно,
Функция F(x) называется стандартным нормальным распределением, если a=0, σ=1, то есть:
F(x)=1√2πx∫−∞e−t22dt=1√2π(0∫−∞e−t22dt+x∫0e−t22dt)=0,5+Ф(x)Здесь Ф(x)=1√2πx∫0e−t22dt - функция Лапласса.
Функция Ф(x)=1√2πx∫0e−t22dt называется интегралом вероятности.
Числовые характеристики нормального распределения.
Математическое ожидание: M(X)=a.
Дисперсия: D(X)=σ2.
Среднее квадратическое распределение: σ(X)=σ.
Пример решения задачи на понятие нормального распределения.
Задача 1: Длина пути X представляет собой случайную непрерывную величину. X распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно 4 километра, а среднее квадратическое отклонение равно 100 метров.
- Найти функцию плотности распределения X.
- Построить схематически график плотности распределения.
- Найти функцию распределения случайной величины X.
- Найти дисперсию.
Решение:
- Для начала представим все величины в одном измерении: 100м=0,1км
Из определения 1, получим:
φ(x)=10,1√2πe−(x−4)20,02(так как a=4 км, σ=0,1 км)
- Используя свойства функции плотности распределения, имеем, что график функции φ(x) симметричен относительно прямой x=4.
Максимум функция достигает в точке (a,1√2πσ)=(4, 10,1√2π)
Схематический график имеет вид:
Рисунок 2.
- По определению функции распределения F(x)=1√2πσx∫−∞e−(t−a)22σ2dt, имеем:
- D(X)=σ2=0,01.