Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.
Перечислим основные способы, используемые для этого:
- Правило Саррюса;
- Правило треугольников;
- Использование специальной формулы для вычисления;
- Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.
Правило Саррюса
Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.
Если диагональ идёт сверху слева вниз направо — то произведение записывается со знаком «+», а если диагональ идёт из правого верхнего угла в нижний левый — то со знаком «-».
Рисунок 1. Формула третьего порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Дана матричная таблица $A$. Вычислите детерминант с помощью правила Саррюса.
$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$
Решение:
Рисунок 2. Вычисление определителя 3 порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ = 0 \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 2 – 1 \cdot 1 \cdot 5 – 3 \cdot 1 \cdot 3 – 0 \cdot 2 \cdot 5 + 1 \cdot 4 \cdot 2 = 0 + 12 – 5 - 9 – 0 + 8 = 6$
Правило треугольников
Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.
Рисунок 3. Треугольники. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найдите определитель из прошлого задания, используя метод треугольников.
Решение:
Рисунок 4. Наглядный пример как пользоваться. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ= 0 \cdot 4 3 + 3 \cdot 2 \cdot 2 – 1 \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 2 – 1 \cdot 3 \cdot 3 – 2 \cdot 5 \cdot 0 = 0 + 12 – 5 + 8 – 9 – 0 = 6$
Использование формулы разложения по строчке
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$
Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:
$Δ =\begin{array}{|ccc|} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array}=a_{11} \cdot \begin{array}{|cc|} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{array} – a_{12} \cdot \begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{array} + a_{13} \cdot \begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{array}= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} – a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}$.
Разложите определитель матрицы из предыдущих примеров по 1-ой строчке и найдите его.
Решение:
$Δ = 0 \cdot \begin{array}{|cc|} 4 & 2 \\ 5 & 3 \\ \ \end{array} – 3 \cdot \begin{array} {|cc|} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \ \end{array} + (-1) \cdot \begin{array}{|cc|} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ \ \end{array} = 0 – 3 \cdot (1 \cdot 3 – 2 \cdot 2) + (-1) \cdot (5 – 8) = 0 – 3 \cdot(-1) + (-1) \cdot (-3) = 3 + 3 = 6$
Метод Гаусса
Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.
Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.
После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.
Примените метод Гаусса для получения детерминанта матрицы из предыдущих примеров.
Решение:
$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$
Переставим первую строчку со второй, при этом запомним, что знак детерминанта в конце поменяется:
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$;
Вычтем из третьей строчки 1-ую, умноженную на 2:
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -1 \\ \end{pmatrix}$;
Сложим между собой третью строчку со второй:
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}$;
Получили искомый вид матрицы. Теперь можно сосчитать определитель, минус появляется из-за перемены строчек местами:
$Δ=-\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}= -(1 \cdot 3 \cdot ( - 2) ) = 6 $
