Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.
Перечислим основные способы, используемые для этого:
- Правило Саррюса;
- Правило треугольников;
- Использование специальной формулы для вычисления;
- Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.
Правило Саррюса
Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.
Если диагональ идёт сверху слева вниз направо — то произведение записывается со знаком «+», а если диагональ идёт из правого верхнего угла в нижний левый — то со знаком «-».
Рисунок 1. Формула третьего порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Дана матричная таблица A. Вычислите детерминант с помощью правила Саррюса.
A=(03−1142253)
Решение:
Рисунок 2. Вычисление определителя 3 порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Δ=0⋅4⋅3+3⋅2⋅2–1⋅1⋅5–3⋅1⋅3–0⋅2⋅5+1⋅4⋅2=0+12–5−9–0+8=6
Правило треугольников
Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.
Рисунок 3. Треугольники. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найдите определитель из прошлого задания, используя метод треугольников.
Решение:
Рисунок 4. Наглядный пример как пользоваться. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Δ=0⋅43+3⋅2⋅2–1⋅5⋅1+1⋅4⋅2–1⋅3⋅3–2⋅5⋅0=0+12–5+8–9–0=6
Использование формулы разложения по строчке
A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)
Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:
Δ=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11⋅a22a23a32a33–a12⋅a11a13a21a23a31a33+a13⋅a11a12a21a22a31a32=a11⋅a22⋅a33–a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31.
Разложите определитель матрицы из предыдущих примеров по 1-ой строчке и найдите его.
Решение:
Δ=0⋅4253 –3⋅1223 +(−1)⋅1425 =0–3⋅(1⋅3–2⋅2)+(−1)⋅(5–8)=0–3⋅(−1)+(−1)⋅(−3)=3+3=6
Метод Гаусса
Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.
Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.
После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.
Примените метод Гаусса для получения детерминанта матрицы из предыдущих примеров.
Решение:
A=(03−1142253)
Переставим первую строчку со второй, при этом запомним, что знак детерминанта в конце поменяется:
(14203−1253);
Вычтем из третьей строчки 1-ую, умноженную на 2:
(14203−10−3−1);
Сложим между собой третью строчку со второй:
(14203−100−2);
Получили искомый вид матрицы. Теперь можно сосчитать определитель, минус появляется из-за перемены строчек местами:
Δ=−(14203−100−2)=−(1⋅3⋅(−2))=6