Интеграл от константы получают благодаря небольшим преобразованиям одного из самых простейших табличных интегралов, запишем его:
$\int 1 \cdot dx = \int dx = x + C \left(1\right)$
Данная формула иллюстрирует правило взятия интеграла от единицы, константа же представляет собой единицу, помноженную на какое-либо число.
В случае наличия множителя воспользуемся правилами дифференцирования функции и выведем формулу для интеграла:
$d(a \cdot \int f(x))dx = a \cdot d(\int f(x) dx) = a \cdot f(x) dx \left(2\right)$.
Соответственно правилу, доказанному в формуле $(2)$ получается, что постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:
$\int a \cdot f(x)dx = a \cdot \int f(x) dx \left(2\right)$.
Применим формулу $(2)$ и формулу $(1)$ для получения первообразной от константы $K$ и получим:
$\int K \cdot dx = \int 1 \cdot K \cdot dx = K \cdot \int 1 \cdot dx = K \cdot (x + C) \left(1\right)$.
Статья: Интеграл от константы
Подведём итоги: первообразная от константы равна значению постоянной, помноженной на переменную, по которой производилось интегрирование, плюс некоторая константа.
Данное правило справедливо как для неопределённого интеграла, так и для определённого, но при взятии определённого интеграла константа $C$ уничтожается во время вычитания.
Возьмите интеграл: $\int(12 x^2 – 6x+10)dx$.
Решение:
$\int(12 x^2 – 6x+10)dx= \int(12 x^2 dx - \int 6x dx + \int 10 dx = \frac{12}{3} x^3 + \frac{6}{2}x^2 + 10 + C$.
