Основные определения и алгоритм нахождения минимума функции двух переменных
Необходимость умения находить максимум и минимум функции сложно переоценить. В повседневной жизни часто требуется находить максимальную или минимальную величину в прибыли, прочности, КПД, расходах, издержках, потреблении, расстоянии и так далее.
Будем считать, что определение функции одной переменной читателю известно. Функция одной переменной выражает зависимость одной переменной величины от другой. На практике чаще встречаются случаи, когда некоторая величина зависит от нескольких величин, а не от одной. Можно вспомнить много примеров из курса геометрии, физики, экономических дисциплин (эконометрики, например). В данной статье мы разберём случай, когда функция зависит от двух величин.
В качестве практических примеров составления функций двух переменных можно привести следующие:
- площадь прямоугольника зависит от его длин и сторон;
- прибыль предприятия зависит от дохода и издержек.
Функция двух переменных - это закон, ставящий в соответствие каждой упорядоченной паре $(x,y)$ (независимые переменные или аргументы) единственное число $z$ (зависимая переменная):
$z=f(x,y).$
Независимые переменные можно считать координатами точки в некотором пространстве. Такая точка обозначается так: $A(x,y)$. Тогда функцию можно записать так: $z=A(x,y).$
Приведём определения окрестности и проколотой окрестности, которые нам необходимы для дальнейшего понимания темы.
Окрестность точки $A_0$ с радиусом $r$ - это множество таких точек $A$ на плоскости, которые удовлетворяют неравенству $|A_0A|$
Проколотая окрестность - это всё та же окрестность, только при этом с исключённой точкой $A_0$.
Разберём теоретическую часть о минимуме.
Локальный минимум является некоторой точкой $A_0(x_0,y_0)$ функции $z=f(x,y)$, если для всех точек проколотой окрестности точки $A_0(x_0,y_0)$ будет выполняться неравенство $f(A)$ > $f(A_0)$.
Рисунок 1. Локальный минимум. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке наша точка $A_0(x_0,y_0)$ из определения обозначена как $M_0(x_0,y_0)$.
Точка минимума называется точкой экстремума функции.
Отметим, что существует и локальный максимум, который опущен в данной статье. Он также является экстремумом и имеет похожее определение, о чём не сложно догадаться из названия.
Алгоритм нахождения экстремума:
- найти частные производные;
- составить систему уравнений и решить её;
- вычислить вторые производные;
- найти значения этих производных;
- вычислить определитель.
Если определитель строго меньше $0$, то экстремума не наблюдается. Если определитель строго больше $0$, то функция имеет в точке (координаты - корни системы уравнений) экстремум.
Пример решения
Решим пример.
По заданию нужно исследовать на экстремум функцию $z=x^2+3xy-y^2-7x-4y+9$
$z'_x=2x+3y-7, z'_y=3x-2y-4$.
$\begin{cases} z'_x=0\\ z'_y=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+3y-7=0\\ 3x-2y-4=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+3y=7\\ 3x-2y=4 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{2}(7-3y)\\ \frac{3}{2}(7-3y)-2y=4 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{2}(7-3y)\\ 21-9y-4y=8 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{2}(7-3y)\\ 13y=13 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{2}(7-3y)\\ y=1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=2\\ y=1\end{cases}$.
$z''_{xx}=2, z''_{yy}=-2,z''_{xy}=3.$
$\Delta=\begin{vmatrix}z''_{xx}&z''_{xy}\\z''_{yy}&z''_{xy}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&3\\3&-2\end{vmatrix}=-4-9=-13$.
Определитель меньше $0$. Значит, в точке $M_0(2,1)$ экстремума не наблюдается.
Примеры по нахождению или исследованию функции на экстремум аналогичны, алгоритм их решения идентичен.
