Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Смежные и вертикальные углы

Начальные сведения об углах

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 1

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 2

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).

Угол BOC

Определим теперь, что такое величина угла.

Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен 1180 части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Существуют 4 вида углов:

Определение 3

Угол называется острым, если он меньше 900.

Определение 4

Угол называется тупым, если он больше 900.

Определение 5

Угол называется развернутым, если он равен 1800.

Определение 6

Угол называется прямым, если он равен 900.

«Смежные и вертикальные углы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Помимо таких видов углов, которые описаны выше, можно выделять виды углов по отношению их друг к другу, а именно вертикальные и смежные углы.

Смежные углы

Рассмотрим развернутый угол COB. Из его вершины проведем луч OA. Этот луч разделит первоначальный на два угла. Тогда

Определение 7

Два угла будем называть смежными, если одна пара их сторон является развернутым углом, а другая пара совпадает (рис. 2).

В данном случае углы COA и BOA являются смежными.

Сумма смежных углов равняется 1800.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 2.

По определению 7, в нем угол COB будет равняться 1800. Так как вторая пара сторон смежных углов совпадает, то луч OA будет разделять развернутый угол на 2, следовательно

COA+BOA=1800

Теорема доказана.

Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.

Пример 1

Найти угол C из рисунка ниже

Решение.

По определению 7 получаем, что углы BDA и ADC являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим

BDA+ADC=1800

ADC=1800BDA=1800590=1210

По теореме о сумме углов в треугольнике, будем иметь

A+ADC+C=1800

C=1800AADC=18001901210=400

Ответ: 400.

Вертикальные углы

Рассмотрим развернутые углы AOB и MOC. Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку O на точку O) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда

Определение 8

Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).

В данном случае углы MOA и BOC являются вертикальными и углы MOB и AOC также вертикальные.

Теорема 2

Вертикальные углы равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол MOA равняется углу BOC.

По определению 7, видим, что углы AOM и MOB, а также углы COB и MOB будет являться смежными. Обозначим угол MOB через β. По теореме 1, получим

AOM+β=1800

AOM=1800β

С другой стороны

COB+β=1800

COB=1800β

Получаем, что

AOM=COB

Теорема доказана.

Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.

Пример 2

Найти угол COB из рисунка ниже

Решение.

По определению 8 получаем, что углы AOD и COB являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим

COB=AOD=540

Ответ: 540.

Пример смешанной задачи

Пример 3

Найти угол COB из рисунка ниже

Решение. По определению 8 получаем, что углы FAO и COD являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим

FAO=COD=250

По определению 7 получаем, что углы BOF и BOC являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим

BOF+BOC=1800

BOC=1800BOF=1800550250=1000

Ответ: 1000.

Дата последнего обновления статьи: 04.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot