Начальные сведения об углах
Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда
Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.
Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.
Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).
Определим теперь, что такое величина угла.
Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен 1180 части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.
Существуют 4 вида углов:
Угол называется острым, если он меньше 900.
Угол называется тупым, если он больше 900.
Угол называется развернутым, если он равен 1800.
Угол называется прямым, если он равен 900.
Помимо таких видов углов, которые описаны выше, можно выделять виды углов по отношению их друг к другу, а именно вертикальные и смежные углы.
Смежные углы
Рассмотрим развернутый угол COB. Из его вершины проведем луч OA. Этот луч разделит первоначальный на два угла. Тогда
Два угла будем называть смежными, если одна пара их сторон является развернутым углом, а другая пара совпадает (рис. 2).
В данном случае углы COA и BOA являются смежными.
Сумма смежных углов равняется 1800.
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 2.
По определению 7, в нем угол COB будет равняться 1800. Так как вторая пара сторон смежных углов совпадает, то луч OA будет разделять развернутый угол на 2, следовательно
∠COA+∠BOA=1800
Теорема доказана.
Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.
Найти угол C из рисунка ниже
Решение.
По определению 7 получаем, что углы BDA и ADC являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим
∠BDA+∠ADC=1800
∠ADC=1800−∠BDA=180〗0−590=1210
По теореме о сумме углов в треугольнике, будем иметь
∠A+∠ADC+∠C=1800
∠C=1800−∠A−∠ADC=1800−190−1210=400
Ответ: 400.
Вертикальные углы
Рассмотрим развернутые углы AOB и MOC. Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку O′ на точку O) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда
Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).
В данном случае углы MOA и BOC являются вертикальными и углы MOB и AOC также вертикальные.
Вертикальные углы равняются между собой.
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол MOA равняется углу BOC.
По определению 7, видим, что углы AOM и MOB, а также углы COB и MOB будет являться смежными. Обозначим угол MOB через β. По теореме 1, получим
∠AOM+β=180^0
∠AOM=180^0-β
С другой стороны
∠COB+β=180^0
∠COB=180^0-β
Получаем, что
∠AOM=∠COB
Теорема доказана.
Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.
Найти угол COB из рисунка ниже
Решение.
По определению 8 получаем, что углы AOD и COB являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим
∠COB=∠AOD=54^0
Ответ: 54^0.
Пример смешанной задачи
Найти угол COB из рисунка ниже
Решение. По определению 8 получаем, что углы FAO и COD являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим
∠FAO=∠COD=25^0
По определению 7 получаем, что углы BOF и BOC являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим
∠BOF+∠BOC=180^0
∠BOC=180^0-∠BOF=180^0-55^0-25^0=100^0
Ответ: 100^0.
