Начальные сведения об углах
Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда
Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.
Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.
Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).
Определим теперь, что такое величина угла.
Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.
Существуют 4 вида углов:
Угол называется острым, если он меньше .
Угол называется тупым, если он больше .
Угол называется развернутым, если он равен .
Угол называется прямым, если он равен .
Помимо таких видов углов, которые описаны выше, можно выделять виды углов по отношению их друг к другу, а именно вертикальные и смежные углы.
Смежные углы
Рассмотрим развернутый угол . Из его вершины проведем луч . Этот луч разделит первоначальный на два угла. Тогда
Два угла будем называть смежными, если одна пара их сторон является развернутым углом, а другая пара совпадает (рис. 2).
В данном случае углы и являются смежными.
Сумма смежных углов равняется .
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 2.
По определению 7, в нем угол будет равняться . Так как вторая пара сторон смежных углов совпадает, то луч будет разделять развернутый угол на 2, следовательно
Теорема доказана.
Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.
Найти угол из рисунка ниже
Решение.
По определению 7 получаем, что углы и являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим
По теореме о сумме углов в треугольнике, будем иметь
Ответ: .
Вертикальные углы
Рассмотрим развернутые углы и . Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку на точку ) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда
Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).
В данном случае углы и являются вертикальными и углы и также вертикальные.
Вертикальные углы равняются между собой.
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол равняется углу .
По определению 7, видим, что углы и , а также углы и будет являться смежными. Обозначим угол через . По теореме 1, получим
С другой стороны
Получаем, что
Теорема доказана.
Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.
Найти угол из рисунка ниже
Решение.
По определению 8 получаем, что углы и являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим
Ответ: .
Пример смешанной задачи
Найти угол из рисунка ниже
Решение. По определению 8 получаем, что углы и являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим
По определению 7 получаем, что углы и являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим
Ответ: .