Произведение одночлена и многочлена

Умножим одночлен $3xzy^2$ на многочлен ${xy}^5+y^6-{xz}^5$.

Составим произведение:

$$\left(3xzy^2\right)\cdot ({xy}^5+y^6-{xz}^5)$$

Раскроем скобки:

$$\left(3xzy^2\right)\cdot \left({xy}^5+y^6-{xz}^5\right)=$$ $$=3xzy^2\cdot {xy}^5+3xzy^2\cdot y^6+3xzy^2\cdot (-{xz}^5)$$

Отметим, что последний член многочлена имеет коэффициент -1, поэтому в последнем случае мы умножаем одночлен на член $(-{xz}^5)$

Теперь сгруппируем числа с числами, одноименные переменные с одноименными переменными:

$$3xxy^2y^5z+3xy^2y^6z-1\cdot 3xxy^2zz^5$$

Перемножая, получим:

$$3x^2y^7z+3xy^8z-3{x^2y}^2z^6$$

Видим, что результатом умножения действительно получаем многочлен.

Выполнить умножение одночлена на многочлен:

а) $2z\ и\ (z^2-7z-3)$

б) $-4x^2\ и\ (5y^2-3x-2)$

в) $-5n^3\ и\ (3n^2-n^3+n)$

г) $10a\ и\ (a^2-24a+6)$

д) $-5ab\ и\ (a^2-2ab+b^2)$

е) $(-m^2n)$ и $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение:

а) $2z\ и\ (z^2-7z-3)$

Составим произведение:

$$(2z)\cdot (z^2-7z-3)$$

Раскроем скобки:

$$2z\cdot z^2+2z\cdot \left(-7z\right)+2z\cdot (-3)$$

Перемножив, получим:

$$2z^3-14z^2-6z$$

б) $-4x^2\ и\ (5y^2-3x-2)$

Составим произведение:

$$(-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)$$

Раскроем скобки:

$$\left(-4x^2\right)\cdot 5y^2+\left(-4x^2\right)\cdot \left(-3x\right)+\left(-4x^2\right)\cdot (-2)$$

Перемножив, получим:

$$-20x^2y^2+12x^3+8x^2$$

в) $-5n^3\ и\ (3n^2-n^3+n)$

Составим произведение:

$$(-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)$$

Раскроем скобки:

$$\left(-5n^3\right)\cdot 3n^2+\left(-5n^3\right)\cdot (-n^3)+\left(-5n^3\right)\cdot n$$

Перемножив, получим:

$$-15n^5+5n^6-5n^4$$

г) $10a\ и\ (a^2-24a+6)$

Составим произведение:

$$(10a)\cdot (a^2-24a+6)$$

Раскроем скобки:

$$10a\cdot a^2+10a\cdot (-24a)+10a\cdot 6$$

Перемножив, получим:

$$10a^3-240a^2+60a$$

д) $-5ab\ и\ (a^2-2ab+b^2)$

Составим произведение:

$$(-5ab\ )\cdot (a^2-2ab+b^2)$$

Раскроем скобки:

$$\left(-5ab\ \right)\cdot a^2+\left(-5ab\ \right)\cdot (-2ab)+(-5ab\ )\cdot b^2$$

Перемножив, получим:

$${-5a}^3b+10a^2b^2-5ab^3$$

е) $(-m^2n)$ и $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Составим произведение:

$$(-m^2n\ )\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)$$

Раскроем скобки:

$$\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)$$

Перемножив, получим:

$$-m^4n^3+m^4n\ +{m^2n}^3$$