Напомним для начала, что такое одночлен и многочлен.
Одночлен - это числа, переменные, их степени и произведения.
Многочлен - это сумма одночленов.
Одночлены и многочлены можно перемножать между собой.
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен. Одночлен с многочленом перемножаются по следующей схеме:
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Рассмотрим умножение одночлена на многочлен на примере:
Умножим одночлен $3xzy^2$ на многочлен ${xy}^5+y^6-{xz}^5$.
Составим произведение:
\[\left(3xzy^2\right)\cdot ({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]Раскроем скобки:
\[\left(3xzy^2\right)\cdot \left({xy}^5+y^6-{xz}^5\right)=\] \[=3xzy^2\cdot {xy}^5+3xzy^2\cdot y^6+3xzy^2\cdot (-{xz}^5)\]Отметим, что последний член многочлена имеет коэффициент -1, поэтому в последнем случае мы умножаем одночлен на член $(-{xz}^5)$
Теперь сгруппируем числа с числами, одноименные переменные с одноименными переменными:
\[3xxy^2y^5z+3xy^2y^6z-1\cdot 3xxy^2zz^5\]Перемножая, получим:
\[3x^2y^7z+3xy^8z-3{x^2y}^2z^6\]Видим, что результатом умножения действительно получаем многочлен.
Примеры задач на умножение одночлена на многочлен
Выполнить умножение одночлена на многочлен:
а) $2z\ и\ (z^2-7z-3)$
б) $-4x^2\ и\ (5y^2-3x-2)$
в) $-5n^3\ и\ (3n^2-n^3+n)$
г) $10a\ и\ (a^2-24a+6)$
д) $-5ab\ и\ (a^2-2ab+b^2)$
е) $(-m^2n)$ и $(m^2n^2-m^2-n^2)$
Решение:
а) $2z\ и\ (z^2-7z-3)$
Составим произведение:
\[(2z)\cdot (z^2-7z-3)\]Раскроем скобки:
\[2z\cdot z^2+2z\cdot \left(-7z\right)+2z\cdot (-3)\]Перемножив, получим:
\[2z^3-14z^2-6z\]б) $-4x^2\ и\ (5y^2-3x-2)$
Составим произведение:
\[(-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]Раскроем скобки:
\[\left(-4x^2\right)\cdot 5y^2+\left(-4x^2\right)\cdot \left(-3x\right)+\left(-4x^2\right)\cdot (-2)\]Перемножив, получим:
\[-20x^2y^2+12x^3+8x^2\]в) $-5n^3\ и\ (3n^2-n^3+n)$
Составим произведение:
\[(-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)\]Раскроем скобки:
\[\left(-5n^3\right)\cdot 3n^2+\left(-5n^3\right)\cdot (-n^3)+\left(-5n^3\right)\cdot n\]Перемножив, получим:
\[-15n^5+5n^6-5n^4\]г) $10a\ и\ (a^2-24a+6)$
Составим произведение:
\[(10a)\cdot (a^2-24a+6)\]Раскроем скобки:
\[10a\cdot a^2+10a\cdot (-24a)+10a\cdot 6\]Перемножив, получим:
\[10a^3-240a^2+60a\]д) $-5ab\ и\ (a^2-2ab+b^2)$
Составим произведение:
\[(-5ab\ )\cdot (a^2-2ab+b^2)\]Раскроем скобки:
\[\left(-5ab\ \right)\cdot a^2+\left(-5ab\ \right)\cdot (-2ab)+(-5ab\ )\cdot b^2\]Перемножив, получим:
\[{-5a}^3b+10a^2b^2-5ab^3\]е) $(-m^2n)$ и $(m^2n^2-m^2-n^2)$
Составим произведение:
\[(-m^2n\ )\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]Раскроем скобки:
\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)\]Перемножив, получим:
\[-m^4n^3+m^4n\ +{m^2n}^3\]
