Произведение многочленов

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Правило вычисления произведения многочленов.

Для того чтобы рассмотреть произведение многочленов, для начала вспомним, как умножить одночлен на многочлен.

Произведение одночлена и многочлена находится следующим образом:

составляется произведение одночлена и многочлена.
раскрываются скобки.
группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Рассмотрим теперь умножение двух многочленов на примере:

Пример 1

Умножим многочлен $x-y+z$ на многочлен $\ {xy}^5+y^6-{xz}^5$.

Вначале запишем произведение многочленов:

\[\left(x-y+z\right)({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]

Сделаем следующую замену. Пусть $x-y+z=t$, получим:

\[t\cdot ({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]

Получили произведение одночлена на многочлен. Найдем его по выше изложенному правилу.

Раскроем скобки:

\[t\cdot \left({xy}^5+y^6-{xz}^5\right)={txy}^5+{ty}^6-{txz}^5\]

Сделаем обратную замену:

\[{\left(x-y+z\right)xy}^5+{\left(x-y+z\right)y}^6-{\left(x-y+z\right)xz}^5\]

В данном выражении мы видим присутствие трех произведений одночленов на многочлен. Найдем их по отдельности по выше изложенному правилу:

\[{\left(x-y+z\right)xy}^5=x{xy}^5-y{xy}^5+z{xy}^5={x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5\] \[{\left(x-y+z\right)y}^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7+zy^6\] \[{\left(x-y+z\right)xz}^5=x{xz}^5-y{xz}^5+z{xz}^5=x^2z^5-xyz^5+{xz}^6\]

Перепишем наше выражение:

\[\left({x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^2z^5-xyz^5+{xz}^6)\]

Раскроем скобки. Напомним, что если перед скобками стоит знак плюс, то знаки в скобках остаются неизменными, а если перед скобками стоит знак минус, то знаки в скобках изменятся на противоположные. Получим

\[{x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-{xz}^6\]

Получили многочлен. Осталось только привести его к стандартному виду. Итого, в ответе, получим:

\[{x^2y}^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-{xz}^6\]

Присмотревшись к полученному результату, мы получим следующее правило умножения многочлена на многочлен:

Правило: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Пример 2

Выполнить умножение $2x+y$ и $x^2+2y+3$.

Запишем произведение:

\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]

Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:

\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, значит умножение закончено.