Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен

Найти частное одночленов: $x^3y^5:x^2y$

Решение: $x^3y^5:x^2y=x^{3-2}y^{5-1}=xy^4$

Упростить дробь ${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2$

Решение: $\ {{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}=144x^{12}c^{14}:36x^4c^4=4x^{12-4}c^{14-4}=4x^8c^{10}$

В этом задании мы воспользовались

1) возведением дроби в степень${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}$

2) тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $144:36=4$

3) правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^{12}:x^4{=x}^{12-4}=x^8$,

$$c^{14}:c^4=c^{14-4}=c^{10}$$

Dыполнить деление многочлена ${8a}^3+{6a}^2b-b$ на ${2a}^2$

Произвести деление без остатка многочлена на одночлен не возможно, т.к. элемент многочлена $- b$ не содержит переменную $a$, которая есть в одночлене.

Разделить многочлен ${6x}^2y+{12xy}^2$ на $2x.$

Решение:

Итак: ( ${6x}^2y+{12xy}^2):2x={6x}^2y : 2x+{12xy}^2:2x=3xy+6y^2$

В этом задании мы воспользовались

1) Правило деления многочленов, мы разделили каждое слагаемое многочлена на одночлен:$\ {6x}^2y : 2x$ , ${12xy}^2:2x$ и сложили частные

2) Тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $6:2=3$, $12:2=6$

3) Правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^2:x=x^{2-1}x,\ x: x=1$,

Упростить дробь $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$

Решение:

1) Представим данную дробь в виде суммы двух дробей. Руководствоваться в этом мы будем правилом сложения алгебраических дробей с одинаковым знаменателем: при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателем в итоговой дроби числитель будет равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель будет равен знаменателям дробей - слагаемых

Тогда, $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$

2) Теперь не трудно заметит, что каждая дробь будет представлять собой деление одночленов. Преобразуем сначала первую дробь:

$${\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9:{2ab}^2$$

Сначала вспомним, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $8:2=4.$

Теперь воспользуемся правилом, деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются, тогда :

$$a^4:a=a^{4-1}=a^3$$ $$b^9: b^2=b^{9-2}=b^7$$

Значит, первую дробь можно представит после тождественных преобразований следующим образом:

$${\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9: {2ab}^2=4a^3b^7$$

Теперь преобразуем вторую дробь аналогично: $\ \frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2$

Коэффициент итогового одночлена будет равен частному коэффициентов одночленов, стоящих в числителе и знаменателе $2:2=1.$

Посмотрим, как преобразуются переменные: $a^3:a=a^2$ , $b^3:b^2=b$

Значит вторая дробь тождественно равна:

$$\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2=a^2b$$

Вернемся к исходному выражению, которое представляло собой деление многочлена на одночлен

$$\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=4a^3b^7+a^2b$$