Деление суммы чисел на число
В основе правила деления многочлена на одночлен лежит свойство деления суммы чисел на какое-либо число, отличное от 0.Указанное правило заключается в том что для того чтобы произвести деление суммы нескольких чисел на число можно каждое слагаемое суммы разделить на него, и полученные результаты сложить
Допустимые значения
Значит для того, чтобы сумму чисел разделить на какое-либо число необходимым условием является то, что это число должно быть не равно $0$.
Переход к многочленам
Вспомним, многочлен - это сумма одночленов. Значит, когда мы говорим о том, что нам надо разделить многочлен на одночлен, это значит, что всю эту сумму одночленов нужно разделить на некоторый одночлен. Вспомним, на чем основано деление одночленов/
- Деление степеней $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
Найти частное одночленов: $x^3y^5:x^2y$
Решение: $x^3y^5:x^2y=x^{3-2}y^{5-1}=xy^4$
- Возведение дроби в степень ${(\frac{a^n}{b^m})}^x=\frac{a^{nx}}{b^{mx}}$
Упростить дробь ${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2$
Решение: $\ {{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}=144x^{12}c^{14}:36x^4c^4=4x^{12-4}c^{14-4}=4x^8c^{10}$
В этом задании мы воспользовались
1) возведением дроби в степень${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}$
2) тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $144:36=4$
3) правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^{12}:x^4{=x}^{12-4}=x^8$,
\[c^{14}:c^4=c^{14-4}=c^{10}\]Для того чтобы сформулировать условия, необходимые для деления многочлена на одночлен, необходимо вспомнить условия, при которых возможно деление одночленов. Такими условиями будут следующие:
Условием для выполнения деления одночлена на одночлен является то, что коэффициент делителя должен быть отличен от $0$ и то, что в одночлене, который является делителем не должно быть переменных, которых нет в делимом. Например, при делении ${4x}^3:2xy=\frac{{2x}^2}{y}$ не получится одночлен, т. е деление без остатка не возможно.
Исходя из вышесказанного можно сделать вывод том, что одним из условий возможности выполнения деления многочлена на одночлен является то коэффициент одночлена должен быть отличен от $0$ и то, что в каждом члене многочлена должен выделяться множитель, равный одночлену.
Dыполнить деление многочлена ${8a}^3+{6a}^2b-b$ на ${2a}^2$
Произвести деление без остатка многочлена на одночлен не возможно, т.к. элемент многочлена $- b$ не содержит переменную $a$, которая есть в одночлене.
Правило деления многочлена на одночлен
Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученный результаты сложить.
Разделить многочлен ${6x}^2y+{12xy}^2$ на $2x.$
Решение:
Итак: ( ${6x}^2y+{12xy}^2):2x={6x}^2y : 2x+{12xy}^2:2x=3xy+6y^2$
В этом задании мы воспользовались
1) Правило деления многочленов, мы разделили каждое слагаемое многочлена на одночлен:$\ {6x}^2y : 2x$ , ${12xy}^2:2x$ и сложили частные
2) Тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $6:2=3$, $12:2=6$
3) Правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^2:x=x^{2-1}x,\ x: x=1$,
Упростить дробь $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$
Решение:
1) Представим данную дробь в виде суммы двух дробей. Руководствоваться в этом мы будем правилом сложения алгебраических дробей с одинаковым знаменателем: при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателем в итоговой дроби числитель будет равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель будет равен знаменателям дробей - слагаемых
Тогда, $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$
2) Теперь не трудно заметит, что каждая дробь будет представлять собой деление одночленов. Преобразуем сначала первую дробь:
\[{\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9:{2ab}^2\]Сначала вспомним, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $8:2=4.$
Теперь воспользуемся правилом, деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются, тогда :
\[a^4:a=a^{4-1}=a^3\]\[b^9: b^2=b^{9-2}=b^7\]Значит, первую дробь можно представит после тождественных преобразований следующим образом:
\[{\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9: {2ab}^2=4a^3b^7\]Теперь преобразуем вторую дробь аналогично: $\ \frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2$
Коэффициент итогового одночлена будет равен частному коэффициентов одночленов, стоящих в числителе и знаменателе $2:2=1.$
Посмотрим, как преобразуются переменные: $a^3:a=a^2$ , $b^3:b^2=b$
Значит вторая дробь тождественно равна:
\[\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2=a^2b\]Вернемся к исходному выражению, которое представляло собой деление многочлена на одночлен
\[\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=4a^3b^7+a^2b\]
