Формулировка теоремы
Теорема Менелая представляет собой закон, говорящий о соотношениях в треугольнике в евклидовой геометрии на плоскости.
Рисунок 1. Теорема Менелая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пусть дан треугольник $\triangle ABC$ и секущая линия, пересекающая $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно в точках $D, E$ и $F$, при этом так, что $D, E$ и $F$ не совпадают с точками $A, B$ и $C$. тогда для этого треугольника будет выполняться соотношение:
$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}=-1$ или иначе $AF \cdot BD \cdot CE = - FB \cdot DC \cdot EA$.
В данной формуле длины отрезков используются со знаками $+$ и $-$, причём в зависимости от того, находится ли точка $A$ справа или слева от точки $B$. Например, дробь $\frac{AF}{FB}$ будет положительной, когда $F$ расположена между точками $A$ и $B$ и отрицательной в противном случае.
Обратное соотношение также верно, то есть, если точки $D, E$ и $F$ лежат на $BC, AC$ и $AB$, то они расположены на одной прямой.
Доказательство теоремы Менелая
Докажем данную теорему.
Знак с левой стороны всегда будет отрицательным, так как линия $DEF$ проходит через образующие треугольник прямые либо полностью минуя треугольник, либо пересекая 2 из его сторон.
Для проверки знака опустим перпендикуляры из точек $A, B$ и $C$ на секущую. Пусть их длины будут равны $a, b$ и $c$ соответственно. Из подобия треугольников имеем:
$|\frac{AF}{FB}| =|\frac{a}{b}|, |\frac{BD}{DC}| =|\frac{b}{c}|$ и $|\frac{CE}{EA}| =|\frac{c}{a}|$.
Из этого следует, что
$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}=|\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}|=-1$.
Есть $\triangle PQR$, у которого на $PQ$ имеется $N$, а на $PR$ — $L$, причём расположены они так, что $NQ=LR$. $F$ разбивает $QR$ так, что при разбиении соблюдается соотношение $m:n$, если рассматривать отрезок от $Q$. Как соотносятся между собой $PN$ и $PR$?
Рисунок 2. Рисунок к задаче. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
$NA=LR=a, QF=km, LF=kn$. При этом $NR$ проходит через $QP$ и $QL$, а с третьей стороной пересекается вне треугольника, следовательно, по сформулированной выше теореме:
$\frac{PN}{NQ} \cdot \frac{QF}{FL} \cdot {LP}{RP}=1$, а из этого можно сделать вывод, что
$\frac{PN}{a} \cdot \frac{km}{kn} \cdot \frac{a}{RP}=1$ и, следовательно, $PN$ и $PR$ относятся друг к другу как $\frac{n}{m}$.
