Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулировка теоремы Менелая

Все предметы / Математика / Формулировка теоремы Менелая
Содержание статьи

Формулировка теоремы

Теорема Менелая представляет собой закон, говорящий о соотношениях в треугольнике в евклидовой геометрии на плоскости.

Теорема Менелая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Теорема Менелая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$ и секущая линия, пересекающая $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно в точках $D, E$ и $F$, при этом так, что $D, E$ и $F$ не совпадают с точками $A, B$ и $C$. тогда для этого треугольника будет выполняться соотношение:

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}=-1$ или иначе $AF \cdot BD \cdot CE = - FB \cdot DC \cdot EA$.

В данной формуле длины отрезков используются со знаками $+$ и $-$, причём в зависимости от того, находится ли точка $A$ справа или слева от точки $B$. Например, дробь $\frac{AF}{FB}$ будет положительной, когда $F$ расположена между точками $A$ и $B$ и отрицательной в противном случае.

Обратное соотношение также верно, то есть, если точки $D, E$ и $F$ лежат на $BC, AC$ и $AB$, то они расположены на одной прямой.

Доказательство теоремы Менелая

Докажем данную теорему.

Знак с левой стороны всегда будет отрицательным, так как линия $DEF$ проходит через образующие треугольник прямые либо полностью минуя треугольник, либо пересекая 2 из его сторон.

Для проверки знака опустим перпендикуляры из точек $A, B$ и $C$ на секущую. Пусть их длины будут равны $a, b$ и $c$ соответственно. Из подобия треугольников имеем:

$|\frac{AF}{FB}| =|\frac{a}{b}|, |\frac{BD}{DC}| =|\frac{b}{c}|$ и $|\frac{CE}{EA}| =|\frac{c}{a}|$.

Из этого следует, что

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}=|\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}|=-1$.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 1

Есть $\triangle PQR$, у которого на $PQ$ имеется $N$, а на $PR$ — $L$, причём расположены они так, что $NQ=LR$. $F$ разбивает $QR$ так, что при разбиении соблюдается соотношение $m:n$, если рассматривать отрезок от $Q$. Как соотносятся между собой $PN$ и $PR$?

Рисунок к задаче. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Рисунок к задаче. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

$NA=LR=a, QF=km, LF=kn$. При этом $NR$ проходит через $QP$ и $QL$, а с третьей стороной пересекается вне треугольника, следовательно, по сформулированной выше теореме:

$\frac{PN}{NQ} \cdot \frac{QF}{FL} \cdot {LP}{RP}=1$, а из этого можно сделать вывод, что

$\frac{PN}{a} \cdot \frac{km}{kn} \cdot \frac{a}{RP}=1$ и, следовательно, $PN$ и $PR$ относятся друг к другу как $\frac{n}{m}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис