Простейшие задачи в координатах

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

К простейшим задачам в координатах относятся следующие задачи:

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.
Нахождение координат середины отрезка.
Вычисление длины вектора.
Вычисление расстояние между двумя точками.

Рассмотрим далее решение этих задач.

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Перед тем, как ввести данную задачу напомним понятие радиус вектора данной точки.

Определение 1

Пусть точка $M$ дана в заданной системе координат с началом в точке $O$ . Тогда вектор $\overrightarrow{OM}$ называется радиус-вектором для точки $M$ .

Напомним, что при этом, если $M=\{x,y\}$ в данной системе координат, то вектор $\overrightarrow{OM}=\{x,y\}$ в этой системе координат.

Пример 1

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}.$

Решение.

Рассмотрим рисунок по данной задаче (Рис. 1).

Рисунок 1. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

По определению разности двух векторов, имеем

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Следовательно,

$\overrightarrow{AB}=\left\{x_2,\ y_2\right\}-\left\{x_1,\ y_1\right\}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}$

Ответ: $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}$ .

Координаты середины отрезка

Пример 2

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. $C$ -- середина отрезка $AB$ . Найти координаты точки $C.$

Решение.

Обозначим координаты точки $C$ через $\left\{x,\ y\right\}$ . Рассмотрим рисунок 2.

Рисунок 2. Середина отрезка

Из правила параллелограмма, получим

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OA}\ и\ \overrightarrow{OB}$ - радиус-векторы точек $C,\ A\ и\ B$ соответственно, то получим

$\overrightarrow{OC}=\left\{x,\ y\right\},\ \ \overrightarrow{OA}=\left\{x_1,\ y_1\right\},\ \ \overrightarrow{OB}=\{x_2,\ y_2\}$

Следовательно,

$x=\frac{x_1+x_2}{2},\ y=\frac{y_1+y_2}{2}$

Ответ: $C=\left\{\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right\}$

«Простейшие задачи в координатах» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Вычисление длины вектора по его координатам

Пример 3

Дан вектор $\overrightarrow{a}$ с координатами $\left\{x,\ y\right\}$ . Найти длину этого вектора.

Решение.

Рассмотрим систему координат $xOy$ . Отложим от ее начала координат вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ . Проведем через точку $A$ перпендикуляры к осям координат $OA_1$ и $OA_2$ (рис. 3).

Рисунок 3. Вычисление длины вектора

Так как вектор $\overrightarrow{OA}$ - радиус вектор точки $A$ , то $A=\left\{x,\ y\right\}$ , следовательно,

$OA_1=x,\ OA_2=y$

Найдем теперь длины вектора по теореме Пифагора:

${|\overrightarrow{a}|}^2={OA_1}^2+{OA_2}^2$

${|\overrightarrow{a}|}^2=x^2+y^2$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Расстояние между двумя точками

Пример 4

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно.Найти $d$ -- расстояние между точками $A$ и $B$ через их координаты.